第1讲 有理数的概念和性质.doc

第一讲 有理数的概念和性质 一、【概念和性质】 1、正数和负数 正数：比0大的数。如+3、+1.5、+、+584（正号可以省略） 负数：比0小的数。如－3、－1.5、－、－584（负号不可以省略） 零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。 【实际意义】如“零上”和“零下” “高出”和“低于” “上升”和“下降” “超出”和“不足” “盈利”和“亏损” “收入”和“支出” ▲ 如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km， 向南－5km表示向北5km 填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作 ；汽车原地不动记作 。 （2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示 。 2、整数和分数统称为有理数。 ▲ 有理数可以写成（m、n是整数，n≠0）。 ▲ 有理数的两种分类： ① 按定义分： ② 按符号分（常用）： 几个重要概念 （1）非负数：正数和零 （2）非正数：负数和零 （3）非负整数：正整数和零 （4）非正整数：负整数和零 3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。 左边的数 〈 右边的数 ▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 4、绝对值的意义与性质： ① 数轴上表示的点与原点的距离叫做的绝对值，记作。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ② ③ 非负性 ④ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等） 6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是－1的两个数是互为负倒数 ▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数 ▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 【思考】 已知a为有理数，判断下列语句是否正确： ① （a+）2是正数； ② －（a－）2是负数； ③ a2+是正数； ④ －a2+的值不小于 二、【基础练习】 [例1]（1）一个月内小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值。 （2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，英国增长1.3%，中国增长7.5%，写出这些国家的增长率。 解：（1）小明体重增长2kg，小华体重增长kg，小强体重增长0kg （2）美国增长率，英国为1.3%，中国为7.5%。 [例2] 画出数轴并表示下列有理数 1.5，，，，，0 解： [例3] 写出下列各数的相反数： 6，，，，，100，0 解：6的相反数是，的相反数是8，的相反数是3.9，的相反数是，的相反数是，100的相反数是，0的相反数是0 [例4] 写出下列各数的绝对值： 6，，，，0 解：，，，， [例5] 比较下列各对数的大小： （1）和 （2）和 （3）和 解：（1）先化简：， 正数大于负数即 （2）， ∵ 即 ∴ （3）先化简： ∴ 填空 ：① 若a＞0，b＞0，那么a+ b 0； ② 若a＜0，b＜0，那么a+ b 0； 三、【培优练习】 1、若的值等于多少？ 解：ab＞ 0, 则a、b同号，=1 若都是正号，得 +=2 ， 得数为2－1=1 若都是负号，得 +=－2 ， 得数为－2－1=－3 2、如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 解： D 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2， 求的值。 解： 已知 +b=0 ，=1 ， ｜x｜=2 原式= 4－x+0－1=3－x =3±2=5或1 4、已知，求的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 解：根据非负性，有 a-3=0, b-2=0 得 a=3, b=2 = 32 = 9 5、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？ 解：由 abc ＜0 设c ＜0， 得a、b同号 由a+b+c＞0 得 a ＞0 b ＞0 X=1+1-1+1-1-1=0 所以 = 1 6、若为整数，且， 试求的值。 解： 即 ｜a-b｜2007+ ｜a-c｜2007=0 b、c 具有同等性 可设 ｜a-b｜=1