第5章 线性代数习题课.ppt

* 习题课 1、用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换： 2、用初等变换法化二次型为标准形: 5、证明：若实二次型 中某一 平方项akkxk2的系数akk≤0，则该二次型不是正定的。 6、已知二次型 的秩为2。 （1） 求a的值； （2）求正交变换x=Qy，把 化成标准型。 （05年研究生考题） 7、设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量 是线性方程组Ax=0的两个解。 （1）求A的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QAQ=Λ； （3）求A及 ，其中E为3阶单位阵。 （06年研究生考题） 1、 解 二次型f 的矩阵A为 A 为特征多项式为 所以 A 的特征值为 当 时, 解方程组 即 得基础解系 当 时, 解方程组 即 得基础解系 则 p1、p2、p3 为 A 的三个线性无关的特征 向量且这三个向量两两正交. 现把它们单位化. 令 令 则 且 令 X = PY , 则 f 的标准形为 所作的正交替换为 2、 解 该二次型对应的矩阵为 所以二次型的标准形为 所用线性替换为 *