第二章 控制系统的数学描述20120316.ppt

第二章 控制系统的数学模型 本章主要内容 引言 （本讲） 时域数学模型——微分方程 （本讲） 频域数学模型——传递函数 基本单元 闭环系统的传递函数 信号流图与梅逊公式 脉冲响应与阶跃响应 小结 数学模型 建模 :深入系统或元件的动态特性，准确建立它们的数学模型 * + Eo R1C2S - Ei 图2-27（c) R1C2S + - Ei Eo 图2-27（d) Ei Eo 图2-27（e) * 2.9 信号流图与梅逊公式 信号流图和方框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。 一. 信号流图及其等效变换 * 信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为节点。 节点之间的有向线段连接，称为支路。 通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，称为 增益（传输）。 e 1 a b c d f g h C(s) R(s) 1. 基本概念 * 信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。 （1）出支路：离开节点的支路。 （2）入支路：进入节点的支路。 （3）源节点（输入节点）：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输人，因此也称为输入节点。 （4）汇节点（输出节点）：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。 （5）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。 * （6）回环(路)：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为回路、回环等。如果一个通道从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。 （9）前向通道：从源节点出发到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道。 （7）互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就称它们为互不接触回环。 （10）通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。 （8）回路增益(传输)：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。 * 例如下图中，X。为源节点，X6为汇节点。 X1、X2、X3、X4和X5为混合节点。通道abcdej是一条前向通道，bi是一个回环，bchi不是一个回环，因为有两次经过节点x2。图中共有四个回环，即bi,ch,dg和ef。两个互不接触的回环有三种组合，即bi和ef，bi和dg，ch和ef。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。 * 3 例题 试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化。 解 （a）所示的方框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：方框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。 * 2.8 典型环节及其传递函数 传递函数可表示成零、极点表示： 传递函数可表示成复变量s的有理分式: * 　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有?个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为： * 　　从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。 l．比例环节 比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为 c(t)=Kr(t) t?0　　　 比例环节的传递函数为 ： 式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数 典型环节的传递函数 * 2．惯性环节 　　惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述： 式中 T——惯性环节的时间常数 　　K——比例系数。 * 3．积分环节 K为比例系数。 积分环节的动态方程为： 　　积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为： 　　　　　　　　　　　C（t）=K?t 　　上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。 积分环节的传递函数为： * 4．微分环节 　　微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ： 相应的传递函数为： * 4．振荡环节 振荡环节的微分方程是： 相应的传递函数为： T——时间常数； ?——阻尼系 数（阻尼比），且0＜ ? ＜1。 传