第六讲：函数专题(四).doc

第六讲：函数专题（四） 函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性 知识点回顾： 一、函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2）确定f(－x)与f(x)的关系； 3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 例1：设函数判断它的奇偶性并且求证：． 二、函数的对称性 我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于（0，0） 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数关于对称 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 若写成：，函数关于直线 对称 （2）函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 若写成：，函数关于点 对称 函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。 两个函数的图象对称性 与关于X轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于Y轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 关于点(a,b)对称。 换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。 与关于直线对称。 三、函数的单调性(局部性质) 1.函数的单调性 （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例2：判断函数的单调性； 例3：求下列函数的单调区间： ⑴ ⑵ ⑶ 四、函数的周期性 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T叫做函数的周期. 如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍 nT也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期. 注意： 周期函数不一定有最小正周期； 3）函数的奇偶性、周期性、对称性这三个性质是相互联系的，根据其中的两个，往往可以求出另外一个.