概率统计第五章 大数定律与中心极限定理.ppt

* 第五章 大数定律和中心极限定理 * * §1 大数定律 定理1.1 设随机变量的数学期望， 方差，则对任意的，有 或． 此不等式称为切比雪夫不等式． 一、切比雪夫不等式 证(了解) 现仅证明为连续型随机变量时的情形． 设的概率密度为，则对任意的，有 ． 例1.1 设的标准化随机变量为， 试根据切比雪夫不等式估计概率． 解 ． 例1.2 设随机变量，试根据切比雪夫 不等式估计概率． 二、大数定律（了解） 定义1.1 设有随机变量序列，如果存在常数，使得对任意的，有 ， 就称序列依概率收敛于，记为． 1.相关概念 定义1.3 设有随机变量序列，且存在，，如果 ， 就称随机变量序列服从大数定律． 定义1.2 设有随机变量序列，如果对任意的，均有相互独立，就称相互独立． 2. 切比雪夫大数定律 定理1.2 设是相互独立的随机变量序列，每个均有有限的数学期望和有限的方差，且存在常数，使得，，则对任意的，有 ． 推论1.1　设是相互独立的随机变量序列，且，，，则对任意的，有． 3.贝努里大数定律 定理1.3 设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对任意的，有 ， 即 ． 定理1.3表明在独立重复试验中，当时，事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率，从而为第一章中概率的统计定义提供了理论保障． 4.辛钦大数定律 定理1.4 设随机变量相互独立同分布，如果，，则对任意的，有 ，即 ． 例1.3 设随机变量相互独立，且均服从 参数为的泊松分布，则 ． 证 由于，，所以 ．由推论1.2知， ． §2 中心极限定理 一、中心极限定理的一般提法 定义2.1 设随机变量序列相互独立，且 ，，，令，若 对任意的，有 ， 就称随机变量序列服从中心极限定理． 二、中心极限定理 1.列维—林德伯格中心极限定理 定理2.1设随机变量序列独立同分布，且 ，，．令，．的分布函数记作，则有 ，． 【注1】定理2.1称为列维—林德伯格中心极限定理，也称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理． 【注2】由定理2.1表明，当充分大时，， 即得，从而有． 【注3】特别地，当时，其误差可以忽略不计． 【注5】在实际问题中，有些随机变量是诸多独立同分布，且影响甚微的小因素叠加而成的，因此这些随机变量可近似刻画成服从正态分布的随机变量，这就是中心极限定理的客观背景． 例2.1 设随机变量相互独立，且 ． 记，则利用中心极限定理计算． 解 由于，所以 ．由中心极限定理知 ， 故． 例2.2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的． 假设每箱平均重千克，标准差为千克．若用最大载重量为吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于． 解 设每辆车可以装箱．记为第箱的重量（单位：千克），，由题意知为独立同分布的随机变量，并且，． 续解 根据列维-林德伯格中心极限定理，知 ． 由题意知， ． 由此可见，，从而，即最多 可以装箱． 2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 定理2.2 设随机变量，，则 ，． 【注1】定理2.2称为棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，也称为二项分布以正态分布为极限分布的中心极限定理．定理2.2为定理2.1的特例． 【注2】定理2.2表明，如果，则当充分大时，有．同样，当时，其误差可以忽略不计．（主要结论） 例2.3 设一批产品的次品率为，现从中任意抽取件 产品进行检验．试利用中心极限定理，求次品少于件的概率． 解 设表示件产品中次品的个数，则 ， 由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知 ． 解 由于，所以，且 ， 其中 所以 ． 【注4】由于定理2.1中的的概率分布可以是任意的，因此，的概率分布难于精确求得．但只要充分大，则有近似服从正态分布，因而突出了正态分布在概率统计中的重要地位．