第3章节力学量的算符表示.ppt

f重简并： 对一个本征值ln, 若同时有f个本征函数与之对应 属于同一个本征值ln的简并波函数ψnk,，有 一般来说，ψnk不正交， 但总可以找到正交函数。 例题 对下面两个氢原子的未归一化的1s和2s电子的波函数 证明它们的正交性 说明两波函数是正交. 解 根据正交性的定义，有 4.4 算符与力学量的关系 （1）力学量算符的本征函数组成完全系 如果算符F是厄密算符，它的正交归一化本征函数为?n(x)，对应的本征值为?n，则任意函数?(x)可以按?n(x)展开， ?n(x)组成完全系。 由?n(x)的正交归一化性，系数cn为 在量子力学中，表示力学量的算符为厄密算符，它们的本征函数组成完全系。 如果?(x)表示体系的状态波函数，则?(x)可以按力学量算符F的全部本征函数展开。若?(x)已归一化，则 的物理意义：表示在?(x)态中测量力学量F得到的结果是算符F的本征态?n的几率，也被称为几率振幅。 解：根据Ylm的正交归一化性，得到 例：设体系处于 求 和 的可能测值及相应的几率。 根据 可能测值 相应的几率 和 的可能测值为及相应的几率为： 则任意力学量F的平均值 （2）力学量F的平均值 （?(x)已经归一化） 如果?(x)没有归一化，则 如果波函数ψ已知，我们可以计算位置、动量及其它物理量该态中的平均值。 例题：氢原子基态1s电子波函数为 求动能T（p2/2m）和势能V（-e2/r）的平均值 解： 总能量 * 第三章 量子力学中的力学量 算符的性质 动量算符和角动量算符。 厄密算符的本征值和本征函数 算符与力学量的关系 5. 任意观测量的测不准关系 4.1 算符的性质 什么是算符？ 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 称为一个算符 表示为 线性算符 典型的非线性算符为 位置算符和动量算符 均为线性算符。 哈密顿算符： 角动量算符： 坐标和动量算符 厄密算符 两个波函数?和?，满足下列等式 ?称为算符 的本征值，?称为本征函数，方程称为算符的本征值方程。 若一个算符 作用于一个函数? 的算符 称为厄密算符 在量子力学中，为了使所描述的力学量具有意义，我们要求它们的平均值为实数，即量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 厄密算符的本征值为实数 若 则 所以 如果 为厄密算符 动量算符的厄密性 证明动量算符 的厄密性 因为? 和?是有限的 算符运算初步 1) 算符之和： 2) 算符之积： 一般情况下，算符之积不满足交换律 3) 算符的对易性 ?是体系的任意波函数，所以 例 如果 记为 对易式满足下列恒等式 4.2 动量和角动量算符 1) 动量算符 动量算符 分量形式 动量算符各分量与坐标算符各分量之间的对易关系 动量平方算符 三个分量形式： 动量算符的本征函数 动量算符的本征值方程 P是动量算符的本征值，?p（r）是动量算符的本征函数。 2) 动量算符本征函数的“归一化” 一维粒子的动量本征值为px的本征函数 px可以取-?~+?中连续变化的一切实数，为了确定C，考虑积分 因为 （a）本征值是连续的 如果取 三维情况， （b）本征值是分立的 考虑粒子限制在一维[-L/2, L/2]中运动，动量的本征态为 根据边界条件 所以 或 可以看出，动量取值是不连续的，相应的归一化本征函数为 三维情况 3) 角动量算符 角动量算符的定义式 其分量形式 角动量平方算符 角动量算符的各分量之间是不对易的 同理 同理 角动量平方算符与其各分量之间是对易的 4）球坐标系中的角动量 例：求 算符的本征值和本征函数 本征方程表示为： C由周期性边界条件确定。???＋2?，体系回到原来位置, 要求 lz= m?, m=0, ±1, ±2, … 算符Lz的归一化本征函数表示为 lz= m?为算符lz的本征值，相应的本征函数表示为 相应的本征值为 m? 5）角动量算符的本征函数和本征值 Y(?, ?)是角动量平方算符的本征函数, ??2是L2的本征值 由于算符L2与径向r无关，其本征值方程只与角度相关，写为 令 Y(?, ?)在?变化的整个区域内（0??）必须有限，必须有 λ=l(l+1), l=0, 1, 2, … （连带勒让德微分方程） （m=0, 勒让德微分方程） 是缔合勒让德（Legendre）多项式，Nlm是归一化常数 这样, (L2, lz)的正交归一的共同本征态表为 Ylm称为球谐函数, 它们满足 l表征了角动量的大小，称为角量子数，m称为磁量子数，对应一个l值，m可以取2l+1个值。 简并：一个本征值对