第6章节信号检测与估量理论.ppt

第六章 信号波形的估计 几点基础知识回顾 性质4 估计的误差矢量与观测矢量的正交性，即 证明： 因为 是无偏估计量，所以 说明： 是 的线性函数， 与 同向； 正交性说明，误差矢量 与观测矢量 垂直， 是 在 上的正交投影，如图所示； 误差矢量 最短，均方误差最小。 6.0 正交投影原理 第5章关于线性最小均方误差估计的性质，涉及到了正交投影和正交性的问题。本章关于卡尔曼滤波的讨论，要用到正交投影的概念、性质和引理，所以我们首先对正交投影原理做进一步地简单讨论。 6.0.1 正交投影的概念 设 和 是分别具有前二阶矩的 维和 维随机矢量。 如果存在一个与 同维的随机矢量 ，并且具有如下三条 性质： （1） 可以用 线性表示，即 （2） 满足无偏性要求，即 （3） 误差 与 正交，即 则称 是 在 上的正交投影，简称投影，记为 线性最小均方误差估计矢量恰好具有正交投影的三个性质（线性、无偏和正交），所以，正交投影肯定是存在的。 6.0.2 正交投影的引理(三个引理) 正交投影及其引理在离散卡尔曼滤波公式的推导中是 有用的数学工具。 引理1 正交投影的唯一性 若 和 分别是具有前二阶矩的 维和 维随机矢 量，则 在 上的正交投影唯一地等于基于 的 之线 性最小均方误差估计矢量，即 式中， 是 的均值矢量； 是 与 的互协方差矩阵； 是 的协方差矩阵； 是 的均值矢量。 引理2 正交投影的线性可转换性和可加性 设 和 分别是两个具有前二阶矩的 维随机矢量， 是具有前二阶矩的 维随机矢量， 和 均为非随机矩 阵，则 证明：（略，教材证明公式中有一错误，请订正。） 显然，该引理可推广为有限l个矢量的情形 式中， 为任意有限正整数。 引理3 正交投影的可递推性 设 、 和 是三个分别具有前二阶矩的随机矢量， 其维数不必相同；又令 则 式中 6.1 引言 第5章我们讨论了信号参量估计的问题，被估计的参量不随时间变化，它属于静态估计问题。实际上，往往还需要对信号的波形，包括连续的信号波形和离散的信号状态进行估计，它是随时间变化的参量，属于动态估计问题。 6.1.1 信号波形估计的基本概念 若观测信号为 其中， 是信号， 是加性噪声。所谓信号的波形估计， 可以理解为 类似地，对于离散信号，设信号在 时刻的状态是由 维状态矢量 来描述的，则观测方程一般为 其中， 为 维观测信号矢量； 为 观测矩阵； 为 维观测噪声矢量。 所谓离散信号的状态估计，就是利用观测矢量 来估计信号在 时刻的状态，估计矢量记为 。 6.1.2 信号波形估计的准则和方法 准则： 采用最佳线性滤波或者线性最优估计，即线性最小均方误差准则。 方法： 维纳滤波和卡尔曼滤波。它们各自有连续形式和离散形式。 6.1.3 内容安排 连续过程的维纳滤波：最佳线性滤波，维纳—霍夫方程， 维纳滤波器的非因果解，维纳滤波器的因果解。 离散的卡尔曼滤波：离散信号模型，递推公式，递推算法，特点、性质等。 * 首先在第五章线性最小均方误差估计(性质4)的基础上，讨论正交投影原理。这是本章的一个重要数学基础知识。 图6.7正交投影引理Ⅲ的几何解释 希望输出 *