第五章平面向量5–1平面向量的概念与线性运算.ppt

●课程标准 1．平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． ③了解向量的线性运算性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系． ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力． ●命题趋势 由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点． 在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合． 向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点． ●备考指南 1．在复习中要把知识点、训练目标有机结合．重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等． 2．明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换． 3．在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性． 重点难点 重点：向量及其表示方法；向量的线性运算；平行向量基本定理． 难点：两个向量共线的充要条件． 知识归纳 1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：通过有向线段的直线，叫做的基线，如果向量的基线 ，则称这些向量共线或平行．故共线向量的方向相同或相反．规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：长度 且方向 的向量． (7)用向量表示点的位置 误区警示 (1)数量与向量不同，数量只有大小，向量既有大小又有方向，数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才可以比较大小． (2)平行向量与相等向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件．相反向量大小相等，方向相反． (3)0≠0，区别在于一个是向量，一个是标量． (4)向量有起点、终点、方向；而线段都没有，只有端点． (5)两个向量平行的充要条件： 若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.若a与b是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数λ、μ，使λa＋μb＝0. 应特别注意非零条件的限制，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行包括基线重合的情形． (6)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首指向尾”． 向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是“同始连终，指向被减”． 一、“数形结合”思想 数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思想． [例]　证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC与BD互相平分． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 答案：C 点评：解答向量的基本概念问题时，要特别注意向量概念中的一些特殊情形和向量的特征：如“向量相等，不仅要大小相等，还要方向相同”；零向量与任一向量平行；向量平行与直线平行的区别，等等。 分析：求向量的线性表示式．一是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系数． [例3]　已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的非零实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？ 分析：d可用e1与e2表示，∵e1与e2不共线，∴若d与