2008级《量子力学试卷A》答案.docVIP

《量子力学》试题 A 答案 （闭卷） （电子科学与技术系2008级） 姓名 班级 学号 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 得分 (10分) 简述量子力学的5个基本假设 [答] (1) 微观体系状体由波函数描述。波函数满足连续性、有限性和单值性。 (2) 力学量用厄米算符表示。 (3) 将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开 则在 态中测量力学量得到 结果为 的几率是 ,得到结果在 范围内的几率是 (4) 体系的状态波函数满足薛定谔方程： , 为体系的哈密顿算符。 (5) 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 2、(10分) 分别判断下列三个波函数所描述的状态是否为定态？并说明理由。 [答] 与时间无关,是定态； ， 与时间有关,不是定态； ，与时间有关,不是定态。 3、(10分) 已知一质量为m的粒子在一维势场中运动 （1）写出该粒子一维薛定谔定态波动方程; （2）求解该粒子的能级; （3）求解该粒子归一化后的波函数. [答] 令 则有 通解为 边界条件为： 解得， 能级 波函数为： 4、(10分) (1) 设为厄米算符，且[]，证明为厄米算符；(2) 下列算符中，哪些是线性算符？ 其中哪些是厄米算符？ ， ，， ， ， [答] (1)因为为厄米算符，对于任意两个波函数，有： ， 即为厄米算符，得证。 (2所以线性算符和厄米算符定义可判断： 线性算符： ， ， 厄米算符： ， 5、(10分) 根据测不准关系，估算氢原子的基态能级。 [答] 由测不准关系 对于氢原子 ,即 处于基态时，， 所以 6、(10分) 设氢原子处在基态，已知氢原子基态波函数为，计算(1)库仑势能的平均值;(2)最可几半径。 [答] (1) 解得 (2)电子的径向分布函数为 对于最可几半径，，并且， 解得 。 7、 (10分)设已知在的共同表象中，算符矩阵为 ,(1)求的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵对角化;(2) 求的矩阵表示。 [答] (1) 设的本征函数为，则的本征方程 ，即， 这里 ， 解得：，，，所以的本征值依次为，，。 时，，，经整理，同理得， 对角化 （2）根据,将矩阵形式带入，解得 8、(10分) (1)什么是全同性原理，全同性原理对体系波函数有何要求？(2)证明电子具有自旋的实验有哪些？自旋角动量有何特点？ [答] （1）全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变。描写全同粒子体系的状态波函数只能是对称的或反对称的，而且其对称性（交换对称性）不随时间改变。 a、Stern-Gerlach实验，基态（S态）氢原子束，经过非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。b、塞曼效应。c、光谱的精细结构。 自旋角动量满足与其他角动量相同的对易关系，且在任意方向投影只能取 ±/2 两个值，自旋量子数s只有一个数值1/2。 9、（10分）已知某表象中Hamilton量的矩阵形式 和微扰论方法中能级二级近似公式为， （1）讨论微扰法适用的条件， （2）设c 1，求H本征值的一级近似和二级近似。 [答]（1），H mn要小，即微扰矩阵元要小；|En(0) – Em(0)| 要大，即能级间距要宽。 （2），， 由非简并微扰公式 能量一级修正： 能量二级修正为： 10、（10分）（1）证明量子力学体系所有任意态中，基态能量最低， （2）在恒定弱电场ε作用下的一维带电荷e的简谐振子Hamilton 量为 试参考一维简谐振子的本征函数，提出此体系基态的近似解，并说明理由。 [答]（1）设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系， 其中设体系的 Hamilton 量本征值由小到大顺序排列为：能级E0 E1 E2 ... En ...，本征态|ψ0 , |ψ1 ,|ψ2 ,...,|ψn,... 则任意叠加态的能量为。 （2）试探波函数的选取原则： 根据体系 Hamilton 量的形式和对称性推测合理的试探波函数；试探波函数要满足问题的边界条件；为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个或多个待调整的参数，这些参数称为变分参数；若体系 Hamilton 量可以分成两部分 H =H0 + H1，而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。 参考： ，φ(x)是光滑连续的函数，关于 x =