算法合集之《浅析《最小表示法》思想在字符串循环同构问题中的应用》.ppt

浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用 前言 “最小表示法”比起动态规划、贪心等思想，在当今竞赛中似乎并不是很常见。但是在解决判断“同构”一类问题中却起着重要的作用。 本文即将讨论字符串中的同构问题，如何巧妙地运用最小表示法来解题呢，让我们继续一起思考吧。 问题引入 明确几个记号和概念 ⑴．|s|=length(s)，即s的长度。 明确几个记号和概念 ⑷．定义s的一次循环s(1)=s[2→|s|]+s[1]； s的k次循环(k1)s(k)为s(k-1)的一次循环； s的0次循环s(0)=s。 明确几个记号和概念 ⑸．如果字符串s1可以经过有限次循环得到s2，则称s1和s2是循环同构的。例如： 明确几个记号和概念 ⑹．设有两个映射f1，f2:A→A， 定义f1和f2的连接f1?f2(x)=f1(f2(x))。 问题的数学语言表达形式 给定两个长度相等的字符串，|s1|=|s2|， 判断它们是否是循环同构的。 枚举算法 易知，s1的不同的循环串最多只有|s1|个， 即s1,s1(1),s1(2),…s1(|s1|-1)， 所以只需要把他们一一枚举， 然后分别与s2比较即可。 枚举算法 优点：思维简单，易于实现。 时间复杂度是O(N2)级（N=|s1|=|s2|）。 构造新的算法 首先构造新的模型： S=s1+s1为主串，s2为模式串。 如果s1和s2是循环同构的， 那么s2就一定可以在S中找到匹配！ 匹配算法：理论的下界 在S中寻找s2的匹配是有很多O(N)级的算法的。 本题最优算法的时空复杂度均为O(N)级。 这已经是理论的下界了。 小结：枚举和匹配算法 很容易得到的枚举算法显然不能满足大数据的要求， 于是我们从算法的执行过程入手， 探查到了枚举算法的实质：模式匹配。 探索新的算法 但是问题是否已经完美解决了呢？ [引例] 有两列数a1,a2…an和b1,b2…bn ，不记顺序，判断它们是否相同。 [分析] 由于题目要求“不记顺序”，因此每一列数的不同形式高达n!种之多！ 如果要一一枚举，显然是不科学的。 小结：引例 这道题虽然简单，却给了我们一个重要的启示：当某两个对象有多种表达形式，且需要判断它们在某种变化规则下是否能够达到一个相同的形式时，可以将它们都按一定规则变化成其所有表达形式中的最小者，然后只需要比较两个“最小者”是否相等即可！ 定义：“最小表示法” 设有事物集合T={t1，t2，…，tn}， 映射集合F={f1，f2，…，fm}。 任意f∈F均为T到T的映射，fi:T→T。 定义：“最小表示法” 其中F满足两个条件： 定义：“最小表示法” 另外，根据“本质相同”概念的定义很容易知道，“本质相同”这个概念具有传递性。 定义：“最小表示法” 给定T和F，如何判断T中两个事物s和t是否互为F本质相同呢？ “最小表示法”在本题的应用 在本题中， 事物集合表示的是不同的字符串， 映射集合则表示字符串的循环法则, “事物中的大小关系”就是字符串间的大小关系。 “最小表示法”在本题的应用 现在换一种思路： “最小表示法”在本题的应用 现在换一种思路： “最小表示法”在本题的应用 现在换一种思路： “最小表示法”在本题的应用 现在换一种思路： “最小表示法”在本题的应用 “最小表示法”在本题的应用 “最小表示法”在本题的应用 “最小表示法”在本题的应用 “最小表示法”在本题的应用 设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。 “最小表示法”在本题的应用 设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。 “最小表示法”在本题的应用 设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。 “最小表示法”在本题的应用 设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。 “最小表示法”在本题的应用 在这个例子中，算法正确出解。 小结：“最小表示法”思想 经过努力，我们终于找到了一个与匹配算法本质不同的线性算法。 总结 “最小表示法”是判断两种事物本质是否相同的一种常见思想，它的通用性也是被人们认可的——无论是有哪些信誉好的足球投注网站中判重技术，还是判断图的同构之类复杂的问题，它都有着无可替代的作用。仔细分析可以得出，其思想精华在于引入了“序”这个概念，从而将纷繁的待处理对象化为单一的形式，便于比较。 总结 然而值得注意的是，在如今的信息学竞赛中，试题纷繁复杂，使用的算法也不再拘泥于几个