2010年南大附中青年数学教师解题比赛试题.docVIP

2010年南昌大学附中青年数学教师解题比赛试题 2010－12－8 15：30－17：30 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上． 1．设，, 则的子集的个数是（ ） A．3 B．2 C ．4 D．1 2. 已知函数在R上可导，且，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 3. 南昌大学附中召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （　　） A. B. C. D. 4. 已知是f(x)= +2x的一个零点，且∈（1，），∈（，+），则（　） （A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＞0，f()＞0 （C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＜0，f()＞0 5. 定义在上的函数满足，当时，则（ ） A． B． C． D． 6. 将参加香山夏令营的600名学生编号为：001，002，…,600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在君山、燕山、云山三个营区，从001到300在君山营区，从301到495住在燕山营区，从496到600在云山营区，通常情况下是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且 （ ） A．4 B．2 C． －2 D． 8. 为迎接2010年广州亚运会，太月园安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、黄、蓝、绿、橙中的一种颜色，且5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。若要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（　） A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒 9．的图象的大致形状是（ ） A 　　 B 　 C 　　 D 10．，点A（0，－2）及点B（3，a），从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是（ ）. A．B．（－∞，10） C．（10，＋∞） D．（－∞，4） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分． 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．算数列的前10项和s的算法，算法执行完毕后，输出的s . 12． 13．在R上定义运算 对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围是 。 14． 若为满足 的正数，则的最小值是 。 15. 已知函数满足：， 且 ，则=_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16．（本小题满分12分）已知为的三个内角， 且，求的值. 17．（本小题满分12分）安德烈玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(凯旋门)或第20站(滑铁卢)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入凯旋门)的概率. 18．（本小题满分12分）已知满足＞和的方程 (＜≤2)有两个实根、，求的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知A、B是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P ）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上异于长轴端点的任一点，对于△ABC，求的值。 20．（本小题满分13分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.　已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设。 （1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围； （2）求当取何值时，凹槽的强度最大. 21．（本小题满分14分）　已知为正数，求证： (1) ; (2) . x y o 1 -1 o o o x y o 1 -1 o x y