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2011年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知，则可化简为（ D ） A． B. C. D. 解答：因为，所以= 。正确答案为D。 2．如果复数的模为4，则实数a的值为（ C ） 2 B. C. D. 解答：由题意得。正确答案为C。 3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：， 命题q：或，则p是q的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。 4. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为（ C ） A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数，则该函数为（ A ） 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ） 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依 次记为：若程序运行中 输出的一个数组是 则数组中的（ B ） A．64 B．32 C．16 D．8 答案 经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ） A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。 10. 已知，则的解为（ C ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 解答：不等式的左端看成的一次函数， 由或。 正确答案为C。 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数的最小正周期为______4____。 解答：最小正周期为4。 12. 已知等差数列前15项的和=30，则=____6_______. 解答：由，而。 13. 向量，，，则的取值范围为 [1，3] 。 解答： = ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。 14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为__。 解答：因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以 AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为。 15．设为实数，则_____4________。 解答： 16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示） 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。 17. 设为整数，且，则_3或57_。 解答：将代入 得到 ，因为都是整数，所以 前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。 三、题（本大题共 小题，每小题 分，共计 分） ，求在上的最大值和最小值。 解答：当 当 ---------------------------------- 5分 由此可知 。 ----------------------------