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学案24 平面向量及其线性运算
导学目标: 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量的定义:既有________又有________的量叫做向量.
(2)表示方法:用____________来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.
(3)模:向量的________叫向量的长度或模,记作______或________.
(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向是________.
(5)单位向量:长度为________单位长度的向量叫做单位向量.与a平行的单位向量e=____________.
(6)平行向量:方向________或________的________向量;平行向量又叫________,任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量________.
(7)相等向量:长度________且方向________的向量.
2.向量的加法运算及其几何意义
(1)已知非零向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫做a与b的____,记作________,即________=+=________,这种求向量和的方法叫做向量加法的____________.
(2)以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________.
(3)加法运算律
a+b=________ (交换律);
(a+b)+c=________(结合律).
3.向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a________、________的向量,叫做a的相反向量,记作____.
(2)向量的减法
①定义a-b=a+____,即减去一个向量相当于加上这个向量的________.
②如图,=a,=b,则=______,=______.
4.向量数乘运算及其几何意义
(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作______,它的长度与方向规定如下:
①|λa|=________;
②当λ0时,λa与a的方向________;当λ0时,λa与a的方向________;当a=0时,λa=____;当λ=0时,λa=____.
(2)运算律
设λ,μ是两个实数,则
①λ(μa)=________.(结合律)
②(λ+μ)a=________.(第一分配律)
③λ(a+b)=________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理:向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
5.重要结论
(1)=(++)G为△ABC的________;
(2)++=0P为△ABC的________.
自我检测
1.(2010·四川改编)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||=________.
2.下列四个命题:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m和向量a,b (m∈R),若ma=mb,则a=b;
③若ma=na (m,n∈R,a≠0),则m=n;
④若a=b,b=c,则a=c,
其中正确命题的个数为________.
3.在ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则用a,b表示为________.
4.(2010·湖北改编)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=________.
5.(2009·安徽)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=______.
探究点一 平面向量的有关概念辨析
例1 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;
④如果a∥b,b∥c,那么a∥c.
以上命题中正确的个数为________.
变式迁移1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①|a|=|b|a=b;
②若a=b,b=c,则a=c;
③|a|=0a=0;
④若A、B、C、D是不共线的四点,则=四边形ABCD是平行四边形.
探究点二 向量的线性运算
例2 已知任意平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.求证:=(+).
变式迁移2 如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,=c,试用a、b、c表示,,+.
探
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