第五章教案4.doc

韶关学院课程教学设计（ 4 学时） 教学内容 （章节、专题） 第 五 章 微 分 方 程 模 型 §4香烟过滤嘴的作用 教学目标 与要求 理解多变量微分方程模型的基本思想，掌握吸烟过程中毒物量的数学建模。 教学重点 吸烟过程中毒物量的数学建模及它们之间的数量表达式。 教学难点 吸烟过程中毒物量的数学建模及各个量的表达。 选用教学素材与设备 《数学模型》的各种教材及参考书籍。 教学设备为：白板、水笔、多媒体课室及相关设备等。 教学过程、内容（含教与学的方法） [问题的提出] 尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好．香烟制造商既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴．过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸人的毒物数量与哪些因素有关，以及它们之间的数量表达式． 吸烟时毒物吸入人体的过程大致是这样的：毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分直接进入和，香烟总长=+，毒物M(毫克)均匀分布在烟草中，密度为=M/． 2．点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例是：，+= 1． 3．未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率(单位时间内毒物被吸收的比例)分别是常数和． 4．烟雾沿香烟穿行的速度是常数，香烟燃烧速度是常数，且》． 将一支烟吸完后毒物进入人体的总量(不考虑从空气的烟雾中吸人的)记作Q，在建立模型以得到Q的数量表达式之前，让我们先根据常识分析一下Q应与哪些因素有关，采取什么办法可以降低Q． 首先，提高过滤嘴吸收率、增加过滤嘴长度、减少烟草中毒物的初始含量M，显然可以降低吸人毒物量Q．其次，当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例。和烟雾速度减小时，预料Q也会降低．至于在假设条件中涉及的其他因素，如烟草对毒物的吸收率、烟草长度、香烟燃烧速度，对Q的影响就不容易估计了． [模型的建立] 设=0时在=0处点燃香烟，坐标系如图17所示．吸人毒物量Q由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本函数： 毒物流量 表示时刻单位时间内通过香烟截面处(0≤≤)的毒物量； 毒物密度 表示时刻截面处单位长度烟草中的毒物含量(0≤≤)．由假设l， =． 如果知道了流量函数，吸人毒物量Q就是=处的流量在吸一支烟时间内的总和．注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，我们得到 下面分4步计算Q． 1．求=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过处的数量．由假设4中关于》的假定，可以认为香烟点燃处=0静止不动． 为简单起见，记=，考察(，)一段香烟(图17)，毒物通过和处的流量分别是和，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设2. 4有 其中是烟雾穿过所需时间．令得到微分方程 在=0处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作，根据假设1、3、4可以写出方程(2)的初始条件为 求解(2)、(3)式时先解出(0≤≤)，再利用在=处的连续性确定(≤≤)．其结果为 2．在香烟燃烧过程的任意时刻，求毒物单位时间内通过=的数量. 因为在时刻香烟燃至处，记此时点燃的烟草单位时间放出的毒物量为，则 根据与第1步完全相同的分析和计算可得 实际上在(4)式中将坐标原点平移至，处即可得到(6)式．由(5)、(6)式能够直接写出 3．确定． 因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断地吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度由初始值逐渐增加．考察烟草截面处时间内毒物密度的增量-，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设2、4有 令并将(5)，(6)式代入得 方程(8)的解为： 其中=1—(假设2)． 4．计算Q． 将(9)代入(7)式得 最后将(10)代入(1)式作积分得到 为便于下面的分析将上式化作 记 则(12)式可写作 (13)、(14)式是我们得到的最终结果，表示了吸入毒物量Q与，M，，，，，等诸因素之间的数量关系． [结果分析] 1．Q与烟草含毒物量M、毒物随烟雾沿香烟穿行比例成正比*．设想将毒物M集中在=处，则吸入量为M． 2．因子体现了过滤嘴减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴吸收率和增加长度能够对Q起到负指数衰减的效果，并且和在数量上增加一定比例时起的作用相同．降低烟雾穿行速度也可减少Q．设想将毒物M集中在=处，利用