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《计算方法》 主编 余孝华 王谦 第一章 第一章目录 第一章 误 差 例 题 例 1（续） §1 误差来源 方法误差与舍入误差 舍入误差 条 件 问 题 递 推 算 法 递 推 算 法（续 1） 递 推 算 法（续 2） 两种算法 表1-1 说 明 说 明（续1） 说明（续2） §2 绝对误差、相对误差和有效数字 误差限的意义 相对误差 相对误差（续） 2.2 有效数字 有效数字的定义 有效数字的定义（续） 有效数字定义的进一步解释 有效数字定义的进一步解释（续） 有效数字举例 §3 基本运算中的误差估计 基本运算中的相对误差 具体误差估计 更细的误差估计分析1 更细的误差估计分析2 条件数的概念 第一章结 束 相对误差为: 我们可以利用这两个公式来估计按函数 f 的计算误差。给定 f 的具体形式，就可得到加减乘除及开方这几种基本运算中数据误差与计算结果误差间的关系： 紧 接下屏 如：对加法： 类似地有： 对乘法： 对除法： 对开方： 因此，有更细的估计总结分析如下： 1）对加法： 即：和的绝对误差（或相对误差）不超过相加各 项的绝对误差（或相对误差）之和 。 而x1+x2≈0表示，大小相近的x1，x2异号相加，大小相近的x1，x2同号相减，此时|er(x1+x2)|很大，x1+x2的有效数字会减少。应该避免上述情况出现。 * 误 差 §1 误差来源 1.1 模型误差 1.2 观察误差 1.3 舍入误差 1.4 截断误差 §2 绝对误差、相对误差和有效数字 2.1 绝对误差与相对误差 2.2 有效数字 §3 基本运算中的误差估计 半个世纪以来计算机还给我们这个世界的诸多烦恼中，误差问题最为突出。小到银行利率的错算，大到导弹的错误发射，除了操作人员的疏忽、机器的故障引起的过失误差外，计算机在处理数据过程中还存在计算误差。这是计算机机器数系所引起的，这一数系的特点是有限、离散、支离破碎；这和数学上常用的实数系无限、稠密、连续的特点完全不同。机器数的表示方法通常采用浮点数形式，即： 数值计算方法就是“研究用于求得数学问题近似解的方法和过程”，由于算法的实现必须在计算机上进行，虽然计算机是非常准确且快捷的计算工具，但计算机并不是象一般人想象哪样可以解决一切问题而不出差错。 误 差 （ 续1） 其中 ，且 都是整数0~9中的任一个数。 称为尾数，尾数的位数n是有限正整数； 中的m称为阶数，阶数也是有界的数。所以，机器数中有最大的数，也有最小的数。用机器数表示实数时，很多情况下都带有误差 。 在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。 解 不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积为2，则所求方立体高度应该为 ， 例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积 为已知立方体的二倍 。 ，（15位数）。尽管精确度相当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位数时，计算所得体积的误差。 用计算机计算出 位数 高度 体积 误差 2 1.2 1.728 2.7200×10-1 3 1.25 1.953125 4.6875×10-2 4 1.259 1.995616979 4.3830×10-3 5 1.2599 1.999899757799 1.0024×10-4 6 1.25992 1.99999500019149 4.9998×10-6 7 1.259921 1.99999976239049 2.3761×10-7 8 1.259921 1.99999976239049 2.3771×10-7 9 1 1.99999995287860 4.7121×10-8 表1-1 立方倍积问题的计算 由上表可知，计算机机器数的有限位特点使这一问题只能在满足一定的精度条件下解决，误差是无法消除的。 （2）在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电流、温度、长度等，而观测难免不带误差，这种误差称为观测误差。