1.1导数的概念.ppt

1.1.1变化率问题 微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 思考? 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? 做两个题吧! 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx 小结： 1.函数的平均变化率 1.1.2 导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 第一章 导数及其应用 P 相切 相交 再来一次 直线PQ的斜率为 PQ无限靠近切线PT 相应的 , y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为： 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率． 例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。 解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降. 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)0. 所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)0. 所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些. 例2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t= 0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1) 0 0.2 0.1 0.4 0.6 0.5 1.1 0.7 0.3 1.0 0.9 0.8 0.2 0.1 0.4 0.6 0.5 1.1 0.7 0.3 1.0 0.9 0.8 t(min) c(mg/mL) 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。 作t=0.5处的切线,它的斜率约为0 所以, 作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5 所以, 因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5. 求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (2)求平均变化率 (3)取极限,得导数 (1)求函数的增量 * * * 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度． 变化率问题 问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里, 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 探