2013有限元方法(第2章位移函数-形函数)李民10-27.pdf

第二章 平面问题三角形单元 图3-1 引 言 一 为什么先进行平面问题的有限元法： １.平面问题的有限元分析较简单，具有典型性 ２.在工程应用中有其实际意义，主要表现在在满足工程精度的要求 下，降低问题的复杂性，提高分析问题的效率。 ３.平面问题的有限元分析是今后进一步分析轴对称问题，三维问题 及板壳问题的基础。从平面问题的有限元法分析入手，可有利于有 限元基本概念、方法、理论的理解与掌握。 引 言 二 选用的单元类型及特点 进行平面问题研究时，选用三角形单元较简单。三节点的三角 形单元又是最简单而又被广泛采用的一种单元类型。 由于在平面问题分析中，结构发生的是平面变形，三角形的三 个节点可以看作是平面铰，每个节点具有两个自由度，这样共有３ 个节点６个自由度，如果节点位移或其中某一个分量为零时，可在 该节点处设置一个平面铰支座或连杆支座，以限制其位移。由三角 单元离散的结构是由三角形单元的节点铰接而成的。 2013/6/14 2.1离散化 图3-1 • 弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： • 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分 析 4、整体分析与求解 5、结果分析 2.1离散化 三角形单元的网格剖分原则 １.各节点必须相连。 如图所示中（a ）是正确的，而（b ）是错误的。 ２.三角形单元不能奇异，也就是三角形单元中的三个边长不能相差 太大，或者有过大的钝角或过小的锐角，如图示 ３.单元的大小，数目取决于计算精度的要求和计算容量的限制 分网时首先要满足计算精度的要求，同时可利用结构的对称 性，循环对称性的特点，从厚结构中取出一部分进行分析，或者 对有应力集中的构件，采用疏密不同的网格剖分。边界曲折、应 力集中的单元尺寸小些，在同一问题中，最大单元与最小单元的 尺寸之比不能过大。 ４.同一单元内的结构，几何特性与材料特性相同，也就是不要把厚 度不同或材料不同的区域划分在同一个单元里。 四 节点编号的约定 １.节点编号分为局部节点编号和总体节点编号两种。（有限元软件 在最后都有节点重新编号的要求） 在公式推导中用i，j ，m编号我们约定其为逆时针顺序。 这主要是因为要保证用i，j ，m节点计算的单元面积为正值，如下 图： ２.相邻节点号的差值要尽可能小（对软件应用者，记住要重新编 号）。如图 最大差值为5 最大差值为4 五 三角形单元划分的示例 2013/6/14 2-2 平面问题的常应变（三角形）单元 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的 连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。 对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。 因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点 都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点 处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷 载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置 一个铰支座或相应的连杆支座。 • 1、位移函数概念 结构离散化后，要对单元进行力学特性分析，也就是确 定单元节点力与节点位移之间的关系，这时就需要把单元内的 任一点的位移分量表示成坐标的某种函数。这种函数就叫位移 函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的 精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事 情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定 为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元 法具有的重要优势之一。 由