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数学运算之行程问题专题
行程问题的“三原色”路程、速度、时间。问题千变万化,归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类:一是相遇问题;二是追及问题;三是流水问题;四是相关问题。
老蔡:行程问题,是行测中最难的,希望各位亲们通过下面的学习,对行程问题能达到游刃有余的地步。
在此特意感谢原作者!
1、相遇问题:
相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。
路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:
路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度.
一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:
(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程
(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间
例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。如果两人都按原定速度行进,那么4小时相遇;现在两人都比原计划每小时少走1千米,那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米?
【分析】可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走1千米)仍然走4小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢?就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走,他们5小时相遇,换句话说,再行1小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。这样,就能求出他们现在的速度和了。
【解】1×4×2÷(5-4)×5=40(千米)
这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:速度和×时间=(相隔的)路程。但只有符合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题,在分析其中某两个的运动情况的同时,还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置,他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时,最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论,对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
老蔡:此题虽然简单,但是,老蔡要乘机解释下老蔡对于行程问题的解题思路。
如前面专题所讲,老蔡是方程派,因此,行程问题也喜欢用代数解法。行程问题同样,第一步是找出代数式,第二步是根据等量关系列方程。
本题,相关的量有甲乙的速度,时间,路程,等量关系为两次所行路程相等。
那么,根据题意,设甲乙速度和为X,有:
X*4=(X-2)*5,得X=10,10*4=40千米。
例2:上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗?
虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度×所走的时间加上弟弟的步行速度×所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟.
答:从家到学校距离8450米.
老蔡:
相关数量有:两人速度,时间;等量关系为两人所走路程为两个全程。
设全程为X,有2X=70*70+40*300,X=8450米
例3有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?
解析:假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和.
老蔡:数量有总路程96+104,总速度有26+24,等量关系是总速度*时间=总路程
例4:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度?
田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速
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