7机械振动习题思考题.docVIP

习题 7-1. 原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8） 解：振动方程：, 在本题中，，所以； 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以： 即 7-2. 有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.8） （1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：， 频率： ， 周期： （2）根据初始条件： 可解得： 所以得到振动方程： 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。 解：（1）由题知 2A=10cm，所以A=5cm； 又ω=,即 （2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3cm的位置，所以： 那么此时的 那么速度的大小为 7-4. 一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时, 位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：由题已知 A=12×１０-2m，T=2.0 s ∴ ω=2π/T=π rad·s-1 又，t=0时，， ∴由旋转矢量图，可知： 故振动方程为 (2)将t=0.5 s代入得 方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (3)由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动 即x０=-A/2，且v＜0，故t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以： ∴t=Δ/ω=(π/3)／(π) =1/3s 7-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 处，且向左运动时， 相位为π/3， 而质点2在 处，且向右运动， 相位为4π/3 。 所以它们的相位差为π。 7-6. 质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置： 当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a： 可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力 令 可得到： 可见它是一个简谐振动。 周期为： 7-7. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为： 证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和 可得： 所以： 代入频率计算式，可得： 7-8. 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ EP= 当物体的动能和势能各占总能量的一半： 所以：。 7-9. 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 先分析两个振动的状态： 两者处于反相状态，（反相 ，） 所以合成结果：振幅 振动相位判断：当；当； 所以本题中， 振动方程： 7-10. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 =(0.173)２+(0.2)２-2×0.173×０.２×／２=0.01 ∴A２=0.1 m 设角AA１O为θ，则A２=A２１+A２２-2A１A２cosθ 即cosθ= =0 即θ=π/2，这说明A１与A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/2 7-11. 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？ 解：根据阻尼振动的特征， 振幅为 若已知，经过后，振幅变为，可得： 那么当振幅减为 可求得t=21s。 7-12. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来