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§3 灵活运用数学工具 这是解决物理问题的重要技巧之一。概括地说，基本有如下几条： 把线性变化的函数以恒定不变的平均值代替，即可方便地得到结果； 在误差允许的前提下，把变化的物理量看不变的近似地处理； 在误差要求较高的情况下，把变化的函数关系看作线性变化的二次方关系； 积分的辛卜生近似等。 现分述如下： 一、把线性变化问题当作不变的来处理 我们先看一个例子。 一条铁索长为L，单位长度的质量为，挂在桌边(图3-3-1)。要将它拉上桌面，应作多少功？(铁索与面的摩擦不计)。 这是变力作功问题。 如把 长的铁索拉高x, 则无原则作功。把铁索拉上桌面所作的功为： 结果表明：把铁索的全部质量都集中在铁索的中央处，然后拉上桌面，其功相同。 我们知道，当y与x成线性关系时，在区间内的平均值为： 所以线性变化的物理量都 可以简化为它的平均值，作为一个恒定的物理量来处理。这是解题的一个重要技巧。 上述例子中，克服重力所作的功与x成正比；当x=0时，A1=0；当x=L时，A2= 当然也可以这样看：下垂部分的铁索重量与长度成正比，其平均值为，克服平均重力所作的功为：。 再看一个例子： 用铁锤将铁钉打入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比。在铁狭锤击第一次时，能把铁钉击入木板内1cm ,问击第二次时，能击多深？(假定铁锤打击铁钉的速度不变)。 铁锤与铁钉相碰撞，把铁锤与铁钉看成一个系统。由于撞击力远大于锤、钉的重力，可把重力忽略不计，因此系统的动量在打击前后可以看作不变。由于铁锤的重力远大于铁钉的重力，所以铁锤打击铁钉的速度和撞击后铁锤和铁钉的共同速度一样。铁钉击入木板，是因为铁钉的动能克服摩擦阻力作功的结果。但是摩擦力不是恒力，而是与深度成正比的。正因为如盯，可以用平无摩擦力来代替，从而把线性变化的问题当作不变的问题来处理。 如图3-3-2所示。第一次击入深度S1，在平均摩擦力的作用下，作功为。 第二次从深度S1击入S2，摩擦力作功：。 根据功能原理有： 因为铁锤打击铁钉的速度相同，即。由式(2)减去式(1)得： ［例1］质量为m，半径为的铜盘，在竖直面内，以角速度ω旋转。一灵敏检流计与盘轴、盘边缘经过 水银槽相连接(图3-3-3)，示感应电动势。 ［解］铜盘在旋转中不断切割磁感应线，而产生感应电动势。铜盘在旋转时，有一非电性的惯性力作用着。这一力场的场强为： 式中e—电子电荷。 感应电动势可以用图解法或者用积分法等求出。现用积分法计算： 其实， 与r成线性关系，因此，可以把看作恒定不变的值。这样只要与相乘，即为所求的电动势： 把线性变化的看作不变的来计算就简单了。 必须注意：以平均值代替线性变化的物理量是有条件的，那么，在什么情况下不可作这样的呢？请下例： 弹簧振子的弹簧的质量不能忽略不计时，振动周期怎么算？弹簧的有效质量怎样计算？ 弹簧的质量为M，自然长度为L，弹性系数为K，设M与m相差无几，或者甚至比m还要大。这时，弹簧中各圈的振幅、速度越向上越小。弹簧相当于一个多大质量的刚体在振动？ 设离O点为y远的地方，取一小质元为,质量为。，小质元的速度(其中为小球的速度)。(图3-3-4)于是小球的动能为： 整个弹簧的动能： 于是弹簧振子的振动周期为： 由此可见，不能简单地以代入周期公式；也不能认为是。有的同学可能认为：质元的速度，是线性变化的物理量，因此可用平均值来为代替，即。这样的动能为： 因此有效质量为。这里必须指出：与y成正比,要与成线性关系，即可用平均速度来求。然而这里与不成线性关系，因此，就不能这样来简化计算了。 二、在误差允许范围内，把变化的物理量看着不变的来近似处理 ［例2］试计算气体分子热运动速度其大小介于和之间的分子数占总分子数的百分比为： 这个定积分是可以计算出来的，但比较麻烦。能否对计算加以简化呢？ 由于，在范围内，分子的速度可以近似地看作，所以： 结果表明：不管什么气体，也泛什么温度，在内的分子百分数都是约为10%，这是麦克斯韦速度分布的一个特点。 上述计算中，恰巧就是。假如，使计算加以简化。但必须明白：计算是简化了，但结果是近似的。当然越小越精确；越大，误差也越大。 如果较大，又想不通过繁杂的积分计算求得结果，可用什么比较简单的计算又能达到比较精确的结果呢？ 积分的近似计算有矩形公式、梯形公式、辛卜生公式等。由于辛卜生公式用起来方便、误差又较小，因此经常被采用。 三、把非线性变化的函数关系看作线性变化的来近似处理 ［例3］图3-3-5所示为气体比热比的测定装置。先关闭开关K2，打开开关K1，通过抽气机把容器中的空气抽走一些。而后将K1关闭，此时容器中的温度与室温相同，其压强由压强计读出为.再迅速打开K2，使容器中的压强与大气压相同，并很快关上K2。等气压计上示数稳定后，记下读数为，求气体的比热比γ。 ［分析