《数学分析》教学大纲.docVIP

数学分析教学大纲 一、函数(12学时) 实数概念、绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等），函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。 二、数列极限(12学时) 数列、数列极限的 定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、性、四则运 算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限 。 、实数的完备性（14学时） 区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理，闭 区间上连续函数性质的证明。实数完备性基本定理的等价性 * ，上极限和下极限 * 。 、函数极限(16学时) 函数极限。 定义， 定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、性、四则运算、Heine 定理。函数极限的柯西准则。无穷小量无穷大量及其阶的比较，记号 o，O，非正常极限，渐近线。 、函数的连续性(14学时) 函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。 、导数和微分(16学时) 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马( Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的 应用，高阶微分。 、微分中值定理及其应用（24学时） 柯西（Cauchy）中值定理，不定式极限，洛比达（LHospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项）。近似计算，极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。方程近似解 * 。 八、不定积分（12学时） 原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分。 九、定积分（1学时） 引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法，泰勒公式的积分型余项。上和与下和的性质 * 。 十、定积分的应用（10学时） 简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分、曲率 * 。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（液体静压力、引力、功、平均功率等）。定积分近似计算 * 。 十一、反常积分（1学时） 无穷限反常积分概念、柯西准则，线性运算法则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。 十二、数项级数（12学时） 级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法、拉贝（Raabe）判别法 * 。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。 十三、函数列与函数项级数（14学时） 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。 十四、幂级数（12学时） 幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。 泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开、近似计算、复变量指数函数与欧拉（Euler）公式 * 。 十、极限和连续（1学时） 平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。 二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。 十、多元函数的微分学（学时） 偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯