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江苏东海高级中学高三实验班数学测试 2011年3月28日 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．） 1.已知复数，那么的值是 ▲ . 2.集合，， 则 ▲ . 3.一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ . 4.如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积 ▲ . 5.已知,则 ▲ . 6.已知实数x，y满足的最小值为 ▲ . 7.由命题存在，使是假命题，求得的范围是则的值是 ▲ . 8.已知函数，则函数在处的切线方程 是 ▲ . 9.在数列中，，当时，是的个位数，则 ▲ . 10.一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次， 正四面体面朝下的数字分别为、.若方程至少有一根 ，就称该方程为“漂亮方程”，方程为“漂亮方程”的概率为 ▲ 11.若m、n、l是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题： ①若 ②若 ③若m不垂直于内的无数条直线 ④若 ⑤若 其中正确命题的序号是 ▲ . 12.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于 轴对称的两点，直线的斜率分别为，且的最小 值为，则椭圆的离心率为 ▲ 13.已知是正数,且满足,则的最小值 ▲ . 14.设数列是首项为0的递增数列，（）， ,满足：对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为 ▲ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. 已知函数。 (1)求的最小正周期； (2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间 上的最大值和最小值 16.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的点，且满足. 当时，求证：平面平面； 试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值； 楼房的每平米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整楼每平方米建筑费用提高20元已知建筑层楼房时，每平方米建筑费用为00元层楼时，该楼房综合费用万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和）的表达式。 (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于5.过作垂直于轴，垂足为，的中点为. (1)求抛物线方程； (2)过作，垂足为，求点的坐标； (3)以为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，判断直线与圆的位置关系. 19.已知，函数. (1)当时，求使成立的的集合； (2)求函数在区间上的最小值. 20.已知数列为正常数且 求数列的通项公式； 设； (3)是否存在正整数M，使得恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由. 2. 3. 45 4. 5. 6. 7. 1 8. x＋y―1―=0 11. ②④⑤ 12. 13.4 14. 15解：（1） ． 所以的最小正周期为． ………………………………………6分 （2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象， ． …………………8分 时，， …………………………………………………10分 当，即时，，取得最大值2． …………12分 当，即时，，取得最小值-1…………14分 16. （Ⅰ）∵正方体中，面， 又∴平面平面，……………4分 ∵时，为的中点，∴， 又∵平面平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面．………分 （Ⅱ）∵， 为线段上的点， ∴三角形的面积为定值，即………1分 又∵平面， ∴点到平面的距离为定值，即， ………………1分 ∴三棱锥的体积为定值，即． ∴抛物线方程为y2= 4x. (2)∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2）， 又∵F（1，0）， ∴ 则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为 *k*s*5*u 解方程组 (3)由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2. 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离， 当m≠4时，直线AK的方程为 即为 圆心M（0，2）到直线AK的距离，令 时，直线AK与圆M相离； 当m=1时，直线AK与圆M相切； 当时，直线AK与圆M相交. 19.解：（Ⅰ）由题意，. 当时，，解得或； 当时，，解得. 综上，所求解集为. （Ⅱ）设此最小值为. ①当时，在区间上，. 因为 ，， 则在区间上是增函数，所以. ②当时，在区间上，，由知 . ③当时，在区间上，. . 若，在区间内，从而为区间上的增函数， 由此得. 若，则. 当时，，从而为区间上的增函数； 当时，，从而为区间上的减函数. 因此，当时，或. 当时，，故； 当时，，故. 综上所述，所求函数的最小值 20.解：（1）由题设