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中国古代数学蕴涵的变量思想 吴立宝 王新民 内江师范学院数学与信息科学学院 四川内江 641112 摘要：中国古代数学发展过程中，虽然没能产生出严格意义上的变量数学，但这并不等于说我国古代数学中就没有变量思想。在我国古代数学中，不但蕴涵着丰富的变量思想，而且具有自己的特色。从坐标思想、函数与方程思想、极限思想与微积分思想等四个方面来阐述隐藏在中国古代数学中的变量思想。 关键词：古代数学；变量思想；微积分 中图分类号： 文献标识码：A 1 变量概念的产生 变量的产生在数学发展过程中具有划时代的意义，它催生了解析几何与微积分，促进了函数概念的形成。在数学史上，首次涉及到变量（未用此名称，是用“未知和未定的量”）的是1637年法国数学家笛卡儿的著作《几何学》[1]。笛卡儿指出：假定有一直线绕曲线轴上一点转动，这条直线可以交曲线于两点，但当直线趋近或远离曲线轴的时候，两点逐渐接近并终于重合，此时直线成为曲线的切线，即他把切线看成是割线的极限位置。对于笛卡儿的“变数”，恩格斯给予了很高的评价，恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”[2]笛卡儿的“变数”使数学的发展进入变量数学时代，然而变量概念的形成却经历了近200年的时间。牛顿在《流数术》一书写到“……假定一个量可以无限分割，后者可以使之连续减少，直至它终于完全消失，达到可以把它们称之为零量的程度，或者说他们是无限小的，比任何一个指定的量都小。”并且指出：“线的画出乃至产生不是由于许多点的并列，而是由于点的连续运动。”可以看出牛顿所说的“变量”是由点、线、面的连续运动产生的。现代意义上的变量是1821年由法国数学家柯西给出的：“依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”[3] 根据数学史发展概况，变量数学的形成主要经历了四个阶段，即解析几何的产生、微积分的创立、函数概念的形成以及极限概念的形成。虽然，在中国古代数学发展中，没能产生出严格意义上的变量数学，但这并不等于说我国古代数学中就没有变量思想。在此过程中孕育了非常重要的变量思想，其中包括坐标思想、函数与方程思想、极限思想、微积分思想等。可以这么说，在我国古代数学发展史上不但蕴涵着丰富的变量思想，而且具有自己的特色。 2 中国古代数学里的变量思想 2.1 坐标思想 被认为是中国文化源头之一的《周易》是一部重要的儒家经典著作，它与数学有着极为密切的关系，对我国古代数学的发展产生了较大的影响。易者即变化，《周易》被认为是一门研究变化的学问，其中萌动着比较丰富的变量思想，特别是在“八卦”中有着充分的体现。在《易经系辞上传》有这样的描述：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”。[4]八卦是以阴爻（--）阳爻（—）为基础构成“坤、艮、坎、巽、震、离、兑乾 太极 两仪 　 四象 八卦 图1 太极八卦图 图2 画卦乘方图 2.2 函数与方程思想 函数是刻画变量之间相依关系的重要概念。在我国古代数学中虽然没有明确地提出函数的概念，但函数的思想在现今发现的我国最早的数学著作《算数书》中就有所体现。在《算数书》中所提出的70多条术文中，大都具有较高的抽象性和广泛的普适性，有些术实际上就是相应数学对象或数学概念的性质，譬如在“增减分”条中给出的术文是“增减分：增分者，增其子；减分者，增其母。”[5]这是一条关于“分数”的运算性质，用现在的语言来说就是，当分母不变时，分数的值随着分子的增大而增大；当分子不变时，分数的值随着分母的增大而减小。实际上，“增减分”描述了正比例函数与反比例函数的单调性，虽然不够完整，但对于以常量计算为主的中国古代数学来说，这是非常难能可贵的。 解析几何中的一个重要思想是将方程中的未知数看作“变数”，使方程的解与曲线上的点对应起来，从而运用方程来研究几何曲线的性质。让方程中的未知数取不同的数值最早体现在“不定方程”的研究中。一般认为，数学史上第一个对不定方程进行广泛深入研究的是公元3世纪的古希腊数学家丢番图，而在公元前1世纪成书的中国数学典籍《九章算术》中，对不定方程就进行了比较广泛的讨论，如“方程章”中的“五家共井”问题，在“勾股章”中前后共给出了勾股定理的9组整数解：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（20，21，29）、（20，99，101）、（48，55，73）、（60，91，109）等。在我国其它的古代数学著作中，对不定方程也