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漫谈提高《解几》解题速度的策略 苏州外国语学校 张锦成 解析几何就是运用坐标法解决两类基本问题：一类是求满足给定条件的点的轨迹即曲线，通过建立适当的坐标系求其方程也就是求曲线的方程；另一类是通过对曲线方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。高考中对于解析几何要求较高，究竟“考什么、怎么考、考多难”，结合08 年课改后各省市及全国高考卷中的解析几何题，可以看出高考中的解析几何就是围绕解析几何的两类基本问题来考查的，大部分学生觉得题难，有点让人摸索不透，很多学生为其而烦。解几题如果方法不当，则很难实施解题，即便免强能解，也是运算量超大，让人如临大敌，因此提高解题技巧，优化解题方法，就显得尤为重要，现就解几中常见的题型，强调几个应注意的策略： 一、.把向量条件数量化是解决以向量为背景的解析几何问题的第一程序 解析几何在数学中体现了重要的数学思想“数形结合”，它能有效的培养学生的分析、解决问题的能力，其中以向量与解几的结合是数形结合的最佳载体，既有数的运算又有相应的几何意义。当解析几何问题中涉及到夹角、平行、垂直、共线、求动点轨迹等问题时可借助于向量进行解决。要充分利用向量条件中的信息，将位置关系转化为向量，将向量转化为坐标，这样复杂的问题就能简单化，容易理解、便于解决。 例1 设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过A与AF垂直的直线分别交椭圆C和x轴正半轴于P，Q两点，且。 ⑴ 求椭圆C的离心率； OFAPQ O F A P Q y x 【分析】：本题若通过直线方程来处理题设中的垂直，通过线段的长度来处理向量的关系，一定很烦；若是用向量处理垂直问题，设出相应的点，用点的坐标去表示向量，巧妙地将形转化为数，这样会使问题简单易解。 详解如下： 解：⑴设，则， 得， 设，由得： ， 由点P在椭圆上，得 所以椭圆的离心率为。 ⑵ 由，所以 又，所以的外接圆的圆心为 于是C到直线的距离，则 所以椭圆方程为 二、认清问题的本质，把问题化归彻底 有些学生在处理问题的时候，不是不具备解析法的思想也不是没有处理解几问题应该具备的计算、分析能力，而是没有透过现象，认清问题的本质，或者说没有读懂题，就急于解题，这样的解题，切不可取。此时一定要分析问题的中心是什么，是什么量决定了问题的可研究性， 例2 （江苏高考调研）已知在直角三角形中，，，若椭圆以、为焦点，且经过点. (1)试建立恰当的直角坐标系，求出椭圆的标准方程； (2)若经过左焦点的直线与椭圆交于、两点，问是否存在不等于零的实数，满足？若存在，求出实数的值 ， 若不存在，说明理由。 【分析】：该题的第二问是对的探求问题，向量表达式的形的意义就是线段的中点、点、三点共线，即当直线的斜率取一确定值时能保证上述条件，所以该问题应该围绕直线的斜率来讨论，先确定的值然后再确定的值。有的同学没有搞清问题的本质，围绕来做文章，那么这个问题的处理就进了死胡同。解略。 ABMxyOE例 3如图所示,已知圆交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M A B M x y O E （Ⅰ）若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长； （Ⅱ）若弦MN的中点恰好落在x轴上,求弦MN所在直线的方程； （Ⅲ）设弦MN上一点P(不含端点)满足成等比数列(其中O为坐标原点),试探求的取值范围. 【分析】： 将三道小题都集中在圆的一条动弦上,同时考查了直线方程、圆的方程、平面向量的数量积、一元二次不等式、等比数列这五个C级知识点,另外还考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系等知识点.现在高考命题的趋势就是在直线与圆内寻找新的亮点.很多情况下,新意达到了,同时题目的难度也上去了。有的同学不懂该题第三问的意思不知如何下手，实际上点是动弦上的动点，就是圆内任意一点，成等比数列，则又在一双曲线上，即双曲线在圆内的部分就是的轨迹，这样问题就好处理了。 三、充分利用平面几何知识简化解题 初中对“平几”已作了深入研究，“解析几何”首先以直线和圆作为研究对象，其目的是让我们更易，更快，更深的掌握解析法。这部分内容有着“承上启下”的特点，“解析几何”中往往会涉及初中平面几何知识，在处理问题时，有时要走出解几的思维模式，有机地运用平面几何知识，能起到化敏为简的功效。需要特别提醒的是：在用解析法研究直线与圆的过程中不要忽视它自身的几何性质。要擅于应用它们的“几何性质”解题，在很多情况下“几何性质”显得更为容易，方法显得更为灵巧。 例4（05浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．求若点P在直线上运动，求∠F1PF2取最大值时点的坐标． A1F1 A1 F1 M x y P F2 A2 O l 略解如下：易求 准线方程，不妨设点坐标为 当时，； 当时，，