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也谈高中数学教学中的类比 无锡市洛社高级中学 徐荣新 《普通高中数学课程标准》（实验）中在选修1－2和2－2中明确要求“能利用归纳和类比等进行简单推理”，“类比是合情推理常用的思想方法”。近几年的高考也大量出现类比题，引起了大家的关注和研究。类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。 一、类比的价值和意义 1．类比可激发学生学习兴趣 通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。 2．通过类比可得新知 数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。 3．通过类比提高学生数学思维能力 高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，当有了类比的意识，他会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。 4．类比是数学发现与创新的重要手段 类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。 二、类比的手段 1．通过类比“旧知”，构建知识体系 按照《课标》的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。 在讲授等比数列时，先回忆等差数列中的相关知识： 定义：an＋1－an=d（d为常数）， 通项公式：an=a1＋（n－1）d， 性质：an=ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ； 若ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ，则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ。 通过小组合作，回忆旧知的证明推导方法，来类比得到新知，得到结论，给出证明。 这种类比的方法可以广泛地运用，譬如，平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若且λ＋μ＝１，则P、A、B三点共线”，类比空间向量“若且x＋y＋z＝１，则P、A、B、C四点共面”。 2．通过类比“方法”，领会其中思想 教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。 定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割－以直代曲－求和－取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为πR3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，①底面与圆面平行的若干圆柱；②底面与圆面垂直的若干小半圆柱；③圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。 3．通过类比“形式”，发展创新思维 在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。 譬如：（1）已知函数f（x）=ax＋b，3a2＋4b2=12，求证：当x∈[－1，1]时，|ax＋b|≤。 分析：由3a2＋4b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式 ＋ =1， 故设a=2cosθ，b=sinθ， 有|ax＋b|=|2xcosθ＋sinθ|≤≤，得证。 （2）解方程． 分析：观察每个式子中都有一未知数为一次项，整理得 ，观察形式类比联想到正切的二倍角公式， 设x=tanθ，θ∈（－ ，），则y=tan2θ，z=tan4θ，x=tan8θ。 故有tanθ=tan8θ， 所以8θ=θ＋kπ，θ= ∈（－ ，）， 即x=tan，y= tan ，z= tan ，k=0，±1，±2，±3。 三、培养学生类比意识的教学途径 1．教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功 要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背