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习题22 22-1．计算下列客体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。 解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度： ，所以要考虑相对论效应。 设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式： ，可得： ； （2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度： ，所以不需要考虑相对论效应。 利用德布罗意波的计算公式即可得出： 。 22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： ； （2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：， 由，有：。 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距，中子的动能，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角。 解：衍射是波的特征，中子束通过晶体发生衍射，可见中子束具有波动属性，由布拉格公式，一级极大时取，有：， 波长可利用德布罗意波的计算公式得出： ， ∴，。 22-4．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：利用能量守恒，有：，考虑到， 有： ， 利用匀强电场公式有：。 22-5．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）解：分辨大小为1的物体，1， 由，有电子的动量为：； 试算一下它的速度：， 所以，有电子动能的最小值。 22-6．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。 解：由不确定关系：，有， 由，可推出：。 22-7．的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则： 。 22-8．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。 解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：， 由不确定关系：，有： ∴。 22-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：， 则其不确定度，而做圆周运动时：， 利用：代入，可得到：。 22-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为： 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：， 概率密度为： 粒子处在到区间的几率：， 如果是基态，，则。 22-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。 （1）质子的零点能量有多大？ （2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？ 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式： 时为零点能量： （2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为： 22-12．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算时氢原子可能具有的轨道角动量。 解：当，的可能取值为：0，1，2。 而轨道角动量，所以的取值为：0，，。 22-13．氢原子处于的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？并计算各种可能取向的角动量与轴的夹角？ 解：（1），所以轨道角动量：， （2）的本征值可取：，由磁量子数取值范围：知，有三个取向。夹角分别为： ；；。 思考题22 22-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。 证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。 玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为： 而电子的德布罗意波长：（∵） 可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。 22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？ 答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。 22-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子 感光板，、分别为上、下方电子束的 虚电子源，，底板离源S的距离 为，设，电子的动量为，试求： （1）电子几率密度最大的位置； （2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。 答：（1）电子的德布罗意波长：，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在之间； （2）相邻暗条纹的距离：。 22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图所示，对应的总能量为，若它处于另一个波函数（如图所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？ 答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式： 。在a图中，， 知， 所以粒子的零点能； 若它处于另一个波函数（图所示，）的态上时