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第一讲二阶矩阵
知识改变命运 教育开创未来
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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵
1.矩阵的概念
—2—3—yx23OP(2, 3)①eq \o(OP,\d\fo1()\s\up5(→)) ? (2, 3),将eq \o(OP,\d\fo1()\s\up5(→))的坐标排成一列,并简记为eq \b\bc\
—
2
—
3
—
y
x
2
3
O
P
(2, 3)
eq \b\bc\[(\a\al\vs2(2 ,3 ))
②某电视台举办歌唱比赛,甲、乙两名选手初、复赛成绩如下:
初赛
eq \b\b
eq \b\bc\[(\a\al\vs4(80 90 ,86 88 ))
甲
80
90
乙
86
88
2
3
m
3
-2
4
简记为③
简记为
概念一:
象eq \b\bc\[(\a\al\vs2(2 ,3 )) 的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示, 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
名称介绍:
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵,2×2矩阵(二阶矩阵),2×3矩阵,注意行的个数在前。
②矩阵相等:行数、列数相等,对应的元素也相等的两个矩阵,称为A=B。
③行矩阵:[a11,a12](仅有一行)
④列矩阵:eq \b\bc\[(\a\al\vs2(a11 ,a21 ))(仅有一列)
⑤向量=(x,y),平面上的点P(x,y)都可以看成行矩阵或列矩阵,在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
练习1:
1.已知,,若A=B,试求
2.设,,若A=B,求x,y,m,n的值。
概念二:
由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。
①零矩阵:所有元素均为0,即,记为0。
②二阶单位矩阵:,记为E2.
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义:规定二阶矩阵A=,与向量的乘积为,即==
练习2:
1.(1)=
(2) =
2.=,求
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题1:P(x,y)绕原点逆时针旋转180o得到P’(x’,y’),称P’为P在此旋转变换作用下的象。其结果为,也可以表示为,即==怎么算出来的?
问题2. P(x,y)绕原点逆时针旋转30o得到P’(x’,y’),试完成以下任务①写出象P’; ②写出这个旋转变换的方程组形式;③写出矩阵形式.
30
30o
问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角,其结果又如何?
2.反射变换
定义:把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。
研究:P(x,y)关于x轴的反射变换下的象P’(x’,y’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义:将每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍,(、均不为0),这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题:
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义:将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’(即垂足),这个变换称为关于直线的投影变换。
研究:P(x,y)在x轴上的(正)投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义:将每一点P(x,y)沿着与x轴平行的方向平移个单位,称为平行于x轴的切变变换。将每一点P(x,y)沿着与y轴平行的方向平移个单位,称为平行于y轴的切变变换。
研究:这两个变换的坐标公式和二阶矩阵
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