第七章 线性变换习题解答.doc

第七章 线性变换习题解答 P320 1.① 不是 当时，不是线性变性 当时，，所以是线性变换 1．②A. 1．③（不是）含，则 不是线性变换 1．④A 取 是一个线性变换 1.⑤（是），令，则 因此是一个线性变换 P321 1.⑥ 解 因此这里的投射是一个线性变换. 1.⑦（不是）因为 则 但C中任意复数，一般，故不是线性变换 P321 .1.⑧，，则由矩阵运算性质 故是一个线性变换. P321 .2.解为空间的一点M 那么， 因此： P321 ，3解：，故 （第3习题里给出了这样的是存在的） 证：当k=1时（已知） 设 也成立 故对一切自然数 例进一步 P321.5 可逆换是1-1对应 证：设A的逆变换A-1，则 矛盾,故象不同A-1是单射（1-1的） 此外若有 是满射（映上的）∴是1-1对应 P321 6 若A可逆，可 对于 故线性无关 若A，则A是一个基与基之间的过渡矩阵，A可逆，由定理2④，一个可逆变换。 ①在标准基下的矩阵 7、②（1） （ii） (iii) 7 ③ 7 ④ 7 ⑤ 那么 = 7 ⑥ 7 ⑦（同上） P322.8 P322 9①在下的矩阵为 ②在下的矩阵为 ③在下的矩阵为 P322.10反没有不全为0，使 而是 第一个非0数，故 两也用作用 则只留下，但， （与的选择矛盾！） 故线性无关。 P322 11 （由10题），，线性无关，做成空间的一个基 且 = == 而为所求证。 13 设 对任意可逆矩阵T 那么 由已知在任意基下矩阵相同，故 即 与任何可逆矩阵可换 特别的令（矩阵单位） 因此A与任何矩阵可换，所以 14①、 所求矩陈为： 14② 若，则，基础解为 14 = 3 \* GB3 ③令，则 14 ④令 可 15 ①若 则会有 15 ② 15 ③ 结果仍为 P324 16 当n=1时显然已成立 设n=k时命题成立， 当n=k+1时 若 那么 对于 则 其中 证毕 P324 17 存在 此时若A不可逆，则只有，没有AB~BA 对于（参见P207 30或P4.58.10.3） 至于简单可取则AB=0，BA= P324.18,设 P324 19 ②求的特征值，特征向量： 对于 一切特征向量为 对于 当，∴数乘变换，特征值为0，特征向量是一切非0向量 P324 19 ③。 ，由于秩重数 有3个特征数.但 故 对于 一切特征向量为不全为0 。 对于。 属于的一切特征向量为 P324 19 ④ 对于 一切属于2的特征向量为 对于 一切属于的特征自量为 对于 ∴一切属于的特征向量为 P324 19 ⑤ 特征值为 对于 对于 一切特征向量为 P324 19 ⑥ , （反对称） 解 对于 对于 一切特征向量为 对于 一切特征向量为， P325 19 ⑦ 特征值为 P325 20 ①由定理8推论1 . 取其，即使的矩阵对角化，取则 P325 20 ②（见7.106.11.3）可以对角化，取基即可 取则 P325 20 ③故可以对角化，取基 即可 令,则 P325 20 ④（见7.106.11.3）有3个根，可以对角化，取基 即可.则 P325 20 ⑤（见7.106.11.4） 可以对角化，取基 即可 令 则 P325 20 ⑥有3个（个）特征根，可以对角化，取基 即可，令 P325 20 ⑦（见7，106，11.4）只有个特征值，且 之和为小于空间维数 故在任何基下的矩阵不是对角形，即不与对角矩阵相似. 设 可解出 令则可逆， 同样也有 P325.21证：取的基 =，则 在某组下的矩阵为 反设，有T可逆，使 则 矛盾！（） P325.22 ， 取则 P325.23 ① P325 23 ② 得 得 得 对应到 对应于 对应于 P325 23 ③取，则 P325 24 ① 若 则 P325 24 ②既然中所有向量为特征向量，若存在 所有非零向量，必有同一个数使， 所以对一切 P326 25 ①，则而 因此 25