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第七章 线性变换习题解答P320
第七章 线性变换习题解答P.320
1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是
(1) 在线性空间V中, A ?=?+?, 其中??V是一个固定的向量.
答: 当时,A不是线性变换, 因为A0=??0..
当时,A ?=?,所以A是单位变换, 从而是线性变换..
(2) 在线性空间V中, A ?=?, 其中??V是一个固定的向量.
答: 当时,A不是线性变换, 因为A0=??0...
当时,A ?=0,所以A是零变换, 从而是线性变换..
(3) 在P3中, A ()=.
答: 取?=(1,0,0), 则A (?)=?, A (2?)= A (2,0,0)=(4,0,0) ?2 A?
(4) 在P3中, A ()=.
证明: ?=(), ?=()? P3.
A
=+= A ?+ A ?.
A (k?)=A (?).
A是一个线性变换.
(5) 在P[x]中, A f(x)=f(x+1).
证明: ,k?P, 令,, 则
因此是一个线性变换
(6) 在P[x]中, A f(x)=f(x0).
证明: , .
因此这里的投射是一个线性变换.
(7) 把复数域看成复数域上的线性空间, A .
答: A不是线性变换. 取k=i, A = kA.
(8) 在中, A (X)=BXC.
证明: ?X, Y?, k?P ,
A (X+Y)=B(X+Y)C=(BX+BY)C=BXC+BYC = A (X)+ A (Y).
A (kX)=B(kX)C=k(BXC)= A k(X).
故A是一个线性变换..
.2. 在几何空间中,取直角坐标系Oxy, 以A表示将空间绕Ox轴由Oy向Oz方向旋转90度的变换, 以B 表示绕Oy轴由Oz向Ox方向旋转90度的变换, 以C 表示绕Oz轴由Ox向Oy方向旋转90度的变换. 证明: A4=B 4 = C 4=? . AB?B A. 但是
A2 B 2= B 2A2. 并验证(AB)2= A2 B 2
证明: 设?x , ?y , ?z 分别表示Ox, Oy和Oz轴上的单位向量, 为空间的一点M, 则
A?x=?x, A ?y = ?z, A?z = ??y. 于是
A =,同理有B =, C=.
A 2 =,
A3=, A4=.
事实上, A4为绕Ox轴旋转360度的变换,所以A4=?.
同理, B 4 和C 4也是恒等变换.
AB (1,0,0)=(0,1,0). BA(1,0,0)=(0,0,?1), 所以AB?B A.
A2 B 2=, B 2A2=, 得A2 B 2= B 2A2.
(A B )2=, 所以(A B )2? A2 B 2.
3. 在P[x]中, A, B , 证明AB?B A=E.
证明: (AB?B A)f(x)= A(B (f(x)) ?B (Af(x))= A((x f(x)) ?B (f (x))
= x f (x)+ f(x) ? x f (x)= f(x)= E f(x), 对任意的f(x)? P[x]均成立. 所以
AB?B A=E.
4. 设是A, B线性变换, 如果AB?B A=E, 证明
A kB?B A k=kA k-1.
证明: 证:当k=1时(已知)
设
也成立
故对一切自然数
例进一步
P321.5 可逆换是1-1对应
证:设A的逆变换A-1,则
矛盾,故象不同A-1是单射(1-1的)
此外若有
是满射(映上的)∴是1-1对应
P321 6
若A可逆,可
对于
故线性无关
若A,则A是一个基与基之间的过渡矩阵,A可逆,由定理2④,一个可逆变换。
①在标准基下的矩阵
7、②(1)
(ii)
(iii)
7 ③
7 ④
7 ⑤
那么 =
7 ⑥
7 ⑦(同上)
P322.8
P322 9①在下的矩阵为
②在下的矩阵为
③在下的矩阵为
P322.10反没有不全为0,使
而是 第一个非0数,故
两也用作用
则只留下,但,
(与的选择矛盾!)
故线性无关。
P322 11 (由10题),,线性无关,做成空间的一个基
且
=
==
而为所求证。
13 设
对任意可逆矩阵T
那么
由已知在任意基下矩阵相同,故
即
与任何可逆矩阵可换 特别的令(矩阵单位)
因此A与任何矩阵可换,所以
14①、
所求矩陈为:
14②
若,则,基础解为
14 = 3 \* GB3 ③令,则
14 ④令
可
15 ①若
则会有
15
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