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第二节函数的幂级数展开
无穷级数 第二节 函数的幂级数展开 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、小结 * 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解 1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法. 定理1 如果函数在内具有任意阶导
数, 且在内能展开成的幂级数,
即
则其系数
且展开式是唯一的.
如果在点处任意阶可导,则幂级数称为在点的泰勒级数.
称为在点的麦克劳林级数.
定理2 在点的泰勒级数,在内收
敛于在内.
定理3 设在上有定义,,对,恒有
,则在内可展
开成点的泰勒级数.
将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间:
1、; 2、;
3、; 4、.
将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间 .
将函数展开成的幂级数 .
将级数的和函数展开成的幂级数 .
一、1、;
2、;
3、;
4、.
二、
.
三、.
四、
.
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