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量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二OO三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为的慢中子；被铀吸收； （2）能量为粒子穿过原子； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设 （1）求归一化常数 （2） 2、求的几率流密度。 3、若求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中为实数） 4、一维运动的粒子处于 的状态，其中求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中 6、一维自由运动粒子，在时，波函数为 求： 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E＞时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于态，证明： 3、若在x轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明： 这表明S是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E入射，受到双势垒作用 求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。 7、质量为的粒子处于一维谐振子势场的基态， （1）若弹性系数突然变为，即势场变为 随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场基态几率； （2）势场突然变成后，不进行测量，经过一段时间后，势场又恢复成，问取什么值时，粒子仍恢复到原来场的基态。 8、设一维谐振子处于基态，求它的，并验证测不准关系。 第四章 量子力学中的力学量 若 证明： 2、设的可微函数，证明 （1） （2） 3、证明 4、如果，是厄密算符 （1）证明是厄密算符； （2）求出是厄密算符的条件。 5、证明： 6、如果与它们的对易子都对易，证明 （提示，考虑证明然后积分） 7、设是一小量，算符存在，求证 8、如是能量的本征函数（），证明 从而证明： 9、一维谐振子处在基态 求： （1）势能的平均值 （2）动能的平均值 （3）动量的几率分布函数 其中 10、若 (1) (2) (3) 11、设粒子处于状态，利用上题结果求 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的随时间的变化为： （注：自由粒子与时间无关）。 变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势 试给出有的束缚态条件。 3、设氢原子处于状态 求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。 4、证明 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域的几率。 6、设，求粒子的能量本征值。 7、设粒子在半径为，高为的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示： 其中，表示原子实的电荷，，证明，电子在原子实电场中的能量为 而为的函数，讨论何时较小，求出小时，公式，并讨论能级的简并度。 9、粒子作一维运动，其哈密顿量 的能级为，试用定理，求 的能级。 10、设有两个一维势阱 若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为 （1）证明 （提示：令 （2）若粒子的势场 中运动，试估计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下 不变。 12、计算氢原子中的三条塞曼线的波长。 13．带电粒子在外磁场中运动，如选 或 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。 14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E及均匀磁场B中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z轴方向，电场方向为X轴方向）。 第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论 1、列出下列波函数在动量表象中的表示 （1）一维谐振子基态： （2）氢原子基态： 2、求一维无限深位阱（0≤≤a）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 3、求在动量表象中角动量的矩阵表示。 4、在（）表象中，求的空间中的的可能值及相应几率。 5、设，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则 （提示：求然后求矩阵元） 6、若矩阵A，B，C满足 （1）证明：； （2）在A表象中，求B和C矩阵表示。 7、设分别写出表象和表象中及的矩阵表示。 8、在正交基矢和展开的态空间中，某力学量求在态中测量A的可能值，几率和平均值。 第七章 自 旋 1、设为常数，证明。 2、若证