北航机械考研971972动力学课后答案概2.docVIP

刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： （2）定轴转动刚体的角速度： （3）定轴转动刚体的角加速度： （4）定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度： （7－1） 加速度： （7－2） 其中：为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，是由转轴上任一点引向P点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、B，过这两点的连线某一基准线的夹角为（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： ， （7－3） （7－4） 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： （7－5） 其中：A点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移（，其中c为常量）和定轴转动（其中为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。 同一平面运动刚体，若选取得不同的基点，则基点的运动方程会有所不同，刚体绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义（7－3）式和（7－4）式也可得到这一结论。 平面图形上各点的速度 基点法公式： （7－6） 基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。 速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即： （7－7） 该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。 速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用表示。平面图形上任一点M的速度可表示成 （7－8） 其中：是从速度瞬心引向M点的矢径，为平面图形的角速度矢量。 4、平面图形上各点的加速度 基点法公式： （7－9） 其中：。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用表示。 3－3 取套筒B为动点，OA杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理 可得：， 研究AD杆，应用速度投影定理有： ， 再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理 将上式在x轴上投影有：， 3－4 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度 AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有： ， 设OB杆的角速度为，则有 设P点是AB构件上与齿轮I的接触点， 该点的速度： 齿轮I的角速度为： 3－6 AB杆作平面运动，取A为基点 根据基点法公式有： 将上式在AB连线上投影，可得 因此， 因为B点作圆周运动，此时速度为零， 因此只有切向加速度（方向如图）。 根据加速度基点法公式 将上式在AB连线上投影，可得 ， （瞬时针） 3－7 齿轮II作平面运动，取A为基点有 将上式在x 投影有： 由此求得： 再将基点法公式在y轴上投影有： ， 由此求得 再研究齿轮II上的圆心，取A为基点 将上式在y轴上投影有 ， 由此解得： 再将基点法公式在x轴上投影有： 由此解得： ， 又因为 由此可得： 3－9 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为，卷筒的角速度为： 角加速度为： 卷筒O点的速度为： O点作直线运动，其加速度为： 研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。 将其分别在