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第5章 线性回归分析与方差分析 §5.1 一元线性回归分析 §5.2 可线性化的非线性回归 §5.3 多元线性回归简介 §5.4 方差分析 §5.1 一元线性回归分析 在许多实际问题中，我们常常需要研究多个变量之间的相互关系。 一般来说，变量之间的关系可分为两类： 一类是确定性关系，确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达，例如电流I电压V电阻R之间有关系式V=IR。 另一类是非确定性关系，有些变量之间的关系是非确定性的关系，这种关系无法用一个精确的函数式来表示。 例如，农作物的单位面积产量与施肥量之间有密切的关系，但是不能由施肥量精确知道单位面积产量，这是因为单位面积产量还受到许多其他因素及一些无法控制的随机因素的影响。 又如，人的身高与体重之间存在一种关系，一般来说，人身高越高，体重越大， 但同样高度的人，体重却往往不同。这种变量之间的不确定性关系称之为相关关系。 一、 一元线性回归模型 例1 对某广告公司为了研究某一类产品的广告费x用与其销售额Y之间的关系，对多个厂家进行调查，获得如下数据 画出散点图如图5-1所示.从图中可以看出，随着广告投入费x的增加，销售额Y基本上也呈上升趋势，图中的点大致分布在一条向右上方延伸的直线附近.但各点不完全在一条直线上，这是由于Y还受到其他一些随机因素的影响. 二、 参数a、b、 的估计 三、线性回归的显著性检验 （1）x对Y没有显著影响； （2）x对Y有显著影响，但这种影响不能用线性相关关系来描述； （3）影响Y取值的，除x外，另有其他不可忽略的因素. 四、预测 §5.2 可线性化的非线性回归 在实际问题中，常常会遇到这样的情形：散点图上的几个样本数据点明显地不在一条直线附近，而在某曲线周围： 例1 在彩色显像技术中，考虑析出银的光学密度x与形成染料光学密度Y之间的相关关系，其中11个样本数据如下所示： §5.3 多元线性回归简介 §5.4 方差分析 在实际问题中，影响一事物的因素往往是很多的。 例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、反映时间等因素，每一因素的改变都有可能影响产品的质量。 有些因素影响较大，有些影响较小. 方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各有关因素对试验结果影响的有效方法。 例1 某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单位：秒）。今将每种型号的报警器5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下： 二、双因素方差分析 。 3′32.1″ 2′13.9″ 1′42.4″ 43.86″ 19.72″ 9.95″ 时间t（分′秒″） 1500 1000 800 400 200 100 距离x（米） 例2 赛跑是大家熟知的一种体育活动。下表给出了截至1997年底在6个不同的距离上中短跑成绩的世界记录： 试根据这些记录数据分析出运动员的赛跑成绩与所跑距离间的相关关系。 解 根据记录数据点（xi，ti）作出散点图 (图5-5) 图5-5 从散点图上看出，全部点（xi，ti）分布在一条曲线附近，因而x与t之间可以存在一种线性关系。 我们用一无线性回归分析，可计算出x与t间的线性回归模型为 t=-99.9+0.1455x 由此模型，当x=100,200,400,800,1000,1500(米)时， t的理论值分别为: 4.56″, 19.10″,48.20″,146.4″,215.5″,328.2″ 可以看出t的理论值与实际记录数据多数都比较接近。 仔细分析，可发现线性回归模型的一些不合理之处。 如：当赛跑距离小于68米时，所需时间为负值； 当赛跑距离为100米时所需时间只须4.56″. 再仔细分析，发现：短距离100米、200米及长距离1500米需要的时间实际值均高于线性模型的理论值，而中间的400米、800米、1000米需要的时间实际值均低于线性模型的理论值. 它告诉我们x与t的关系可能为一曲线，且曲线是下凸的。具有这种性质的最简单曲线当属幂函数：t=axb 它告诉我们x与t的关系可能为一曲线，且曲线是下凸的。 对上式二边取对数 lnt=lna+blnx 令 t′=lnt a′=lna x′=lnx 得 t′= a′+bx 为一线性关系 具有这种性质的最简单曲线当属幂函数： t=axb 用一元线性回归分析估计a′、b，从而算出 最后可得t与x间的幂函数模型： t=0.48x1.145 当x=100，200，400，800，1000，1500（米）时， 利