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第一章 质点运动学
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即dv/dt = -kv2,k为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在t时刻的速度大小为;
(2)试证在时间t内,船行驶的距离为.
[证明](1)分离变量得,
积分 ,
可得 .
(2)公式可化为,
由于v = dx/dt,所以
积分 .
因此 . 证毕.
1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:θ = 2 + 4t3.求:
(1)t = 2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时,θ为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答](1)角速度为
ω = dθ/dt = 12t2 = 48(rad·s-1),
法向加速度为
an = rω2 = 230.4(m·s-2);
角加速度为
β = dω/dt = 24t = 48(rad·s-2),
切向加速度为
at = rβ = 4.8(m·s-2).
(2)总加速度为a = (at2 + an2)1/2,
当at = a/2时,有4at2 = at2 + an2,即
.
由此得,
即 ,
解得 .
所以
=3.154(rad).
(3)当at = an时,可得rβ = rω2,
即 24t = (12t2)2,
解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s).
1.6 一飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v = 300m·s-1,方向与水平线夹角为30°而斜向下,此后飞机的加速度为a = 20m·s-2,方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原来的高度?在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
v0x = v0cosθ,
v0y = v0sinθ.
加速度的大小为
ax = acosα,
ay = asinα.
运动方程为
,
.
即 ,
.
令y = 0,解得飞机回到原来高度时的时间为
t = 0(舍去);(s).
将t代入x的方程求得x = 9000m.
1.8 一升降机以加速度1.22m·s-2上升,当上升速度为2.44m·s-1时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
;
螺帽做竖直上抛运动,位移为
.
由题意得h = h1 - h2,所以
,
解得时间为
= 0.705(s).
算得h2 = -0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
1.10 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为v1,下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ,偏向于汽车前进方向,速度为v2.今在车后放一长方形物体,问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿?
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度,由此可作矢量三角形.根据题意得tanα = l/h.
方法一:利用直角三角形.根据直角三角形得
v1 = v2sinθ + v3sinα,
其中v3 = v⊥/cosα,而v⊥ = v2cosθ,
因此v1 = v2sinθ + v2cosθsinα/cosα,
第二章 质点力学的基本定律
2.1一个重量为P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为α)上以初速度运动,的方向与斜面底边的水平约AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道.
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα,方向与初速度方向垂直.其运动方程为
x = v0t,.
将t = x/v0,代入后一方程得质点的轨道方程为
,
这是抛物线方程.
2.4 如图所示:已知F = 4N,m1 = 0.3kg,m2 = 0.2kg,两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2.求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力.(绳子和滑轮质量均不计)
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1,而力的关系为T1 = 2T2.
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2,
F – T1 – μm1g = m1a1.
可以解得m2的加速度为
= .78(m·s-2),
绳对它的拉力
= 1.35(N).
2.7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2.求证:
(1)它们串联起来时,总倔强系数k与k1和k2.满足关系关系式;
(2)它们并联起来时,总倔强系数k = k
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