抢渡长江 2.ppt

　　 综合上述求解结果，我们知道在题目四的条件下，在第一阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为127.3619度方向，在第二阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为114.5386度方向，在第三阶段，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为127.3619度方向。 　　 游泳者的最佳游泳路线为：首先，从起点处沿着与水流方向夹角为127.3619度方向向对岸游200米，然后，沿着与水流方向夹角为114.5386度方向向对岸游760米，最后，沿着与水流方向夹角为127.3619度方向向对岸游200米，到达终点。 　　游泳者的成绩为892.4776秒。 谢谢！ 抢渡长江 一、问题重述 “渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。 2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。 请通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。 2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。 3.若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。 二、问题分析 问题一，是渡河问题最简单的一种模型。首先，水流的速度不变，而人渡河的方向以及速度也不会变，这说明渡河的合运动是一条直线。结合简单的几何关系运算，我们建立了一个简单的几何模型求解出参赛者的游泳速度，并且通过游泳速度确定出最佳的游泳路线。最后我们得出结论：2002年第一名参赛时的游泳速度是1.5416米每秒，游泳方向是沿着与水流方向夹角为117.4558度方向，当游泳者的速度为1.5米每秒时，游泳者的最佳游泳方向是沿着与水流方向夹角为121.8548度方向，其成绩为910.4595秒。 问题二，则是运用问题一中的模型求解，解得游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者的速度需要达到2.1924米每秒，才能在529.1005秒时到达终点。而游泳者的速度显然不可能达到2.1924米每秒，因此游泳者不能到达终点。 同样的，运用问题一中的模型我们分别解得在1934年的比赛制度和2002年的比赛制度下，能够成功到达终点的选手的速度要求分别为0.4385米每秒和1.4315米每秒，同时确定出了造成差异的原因是两次比赛赛程所确定的水平距离不同。 问题三，水流的速度分为了三段。每一段为一个固定的函数值，根据问题一的分析，该游泳路线应该是三条不同的直线组成的。所以，可以想到将第一问的模型分解为三段，然后求解出三段时间的最小和即为渡河的最佳成绩。所以此问采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件求解出了最佳的渡河角度： 1=3=126.0561度， 2 =118.0627度，最佳渡河时间为T=904.0228秒。 问题四，在对问题三模型的推广。在该问中，水流速度是分段函数，我们很自然的想到了用微积分的方法分别解出每一个阶段上的水平位移，然后再求解出三段时间的最小和即为渡河的最佳成绩。所以此问仍然采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件求解出了最佳的渡河角度： 1= 3=127.3619度， 2 =114.5386度，最佳渡河时间为T=892.4776秒。 三、模型假设 1、假设在整个比赛过程中，江面都可以看作