线性代数§6.4线性变换.ppt

* §6.4 线性变换 一、线性变换的概念 　　线性空间中向量之间的联系是通过线性空间到线性空间的映射(变换)来实现的. 1. 映射 定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一元素?, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素? 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射), 记作 ? =T(?) 或记作 ? =T? (??A). 设??A, T(?)=? , 就说变换T把元素?变为?, 称?为?在变换T下的象, 称?为? 在变换T下的源(或象源), 称A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即 T(A)={ ? =T(?) | ??A }. 变换概念是函数概念的推广. 显然, T(A)?B. 2. 从线性空间Vn到Um的线性变换 定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足: (1) 任给?1, ?2?Vn , 都有 T(?1+?2)=T(?1)+T(?2); (2) 任给??Vn , k?R, 都有 T(k?)= kT(?). 则称T为从Vn到Um的线性变换. 说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换. 一般用黑体大写字母T, A, B等代表线性变换, T(?)或T?代表元素?在变换T下的象. 下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换． 3. 从线性空间Vn到其自身的线性变换 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换. 例1: 在线性空间P[x]3中. (1) 求导运算D是一个到其自身的线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0?P[x]n, 则 Dp=3a3x2+2a2x+a1, Dq=3b3x2+2b2x+b1, 从而 D(p+q)=D((a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3)) =3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1) =(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1) =Dp+Dq. =D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0, ) =3ka3x2+2ka2x+ka1 =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp D(kp) (2) 如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0, 则T也是P[x]3上的一个线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0?P[x]3, T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q), T(kp)=ka0=kT(p). (3) 如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1, 则T1是P[x]3上的一个变换, 但不是线性变换. 由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2, 所以 T1(p+q)?T1(p)+T1(q). 例2: 线性空间V中的零变换O: O(?)=0是线性变换. 证明: 设?, ? ?V, 则有 所以, 零变换O是线性变换. O(?+? ) = 0 O(k?) = 0 =O(?)+O(? ), = 0 + 0 = kO(?). = k0 注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0. 例3: 由关系式 确定xoy平面上的一个变换, 说明T的几何意义. 解: 先证明变换T是线性变换. 设 则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2), T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1). 所以, 变换T是线性变换. 上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转?角. 于是 记 一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, x?Rn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换. 事实上, 对任意的x?, x??Rn, =A(x?+x?) =A(kx?)=kAx? T(x?+x?) =Ax?+Ax? =T(x?)+T(x?), T(kx?) =kT(x?). 例4: 定义在闭区间[a, b]上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间C[a, b], 在这个空间中变换 是一个线性变换. 证明: 设 f(x), g(x)?C[a, b], 则有 T(f(x)+g(x)) = T(f(x))+T(g(x)), 故命题得证. T(k f(x)) = kT(f(x)) 例5: 线性空间V中的恒等变换(或称单位