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环境水力学 第二章　分子扩散 第二章　分子扩散 第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解 第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解 第四节 随流扩散 第一节　分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？ 1、扩散现象 扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均化的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规则运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称为分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。 扩散现象 由气体分子运动论可知，单位时间内分子碰撞的次数是巨大的。在通常条件下，每秒钟每升体积内的碰撞次数高达1032次以上，说明分子每时每刻都在不停歇地作无规则的运动。分子的这种运动称为布朗运动。 两种不同物质通过分子运动而相互渗透的现象称为分子扩散。 扩散现象 扩散的动力可以是分子场中的浓度梯度、温度梯度、压力梯度或其它作用力存在。相应的扩散有浓度扩散、温度扩散、压力扩散或强制扩散等。 分子运动不仅可以传递质量，也同样可以传递动量、能量、热量和涡通量等。 2、费克第一扩散定律 费克第一扩散定律 下面给出推导： 费克第一扩散定律 3、费克第二扩散定律 推导： 如图表示一维输移的控制体，两个具有单位面积的平行面与x轴垂直，两者相距dx， 设c(x,t)是 t 时刻位于x 点上物质浓度，则 c(x,t)dx为该六面体内的污染物质量，该微元保守物质量对时间的变化率为 设x处的物质通量为q(x,t)， 则在x+dx处的物质通量为 在x处和x+dx处的通量之差为 由质量守恒定律 可得： 考虑到 故得一维扩散方程。 一维扩散方程　　　　　　 从数学上看，它是一个二阶线性抛物型偏微分方程。 将上述结果推广到三维中去，可得（直角坐标系中）： 方程含义：方程左边为时变项；方程右端为分子扩散项。 扩散方程在本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现。 第二节 一维扩散方程的基本解 一、静止水环境中的扩散 1、集中瞬时源 1）一维分子扩散 2）讨论 1、集中瞬时源 在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。 1）、一维扩散 主要针对面污染源，只考虑沿某一方向（X方向）上的浓度分布。 设想有一根直的无限长均匀断面水管，截面积为一个单位，管内装有静止洁净的水体，在管子中间垂直于管轴瞬时集中投放质量为M的红色染液。染液厚度很薄，红色染液在水管中的扩散为分子扩散。 1）、一维扩散 由于受管壁限制，且染液薄片充满了整个管断面，所以染液只会沿长度方向扩散。 令染液投入点为坐标原点，建立坐标系。 扩散方程为： 定解条件： 于是，一维扩散定解问题归结为： 求解方法之一： 量纲分析法 因为任意时刻在x方向某一点的浓度C必定与投放点质量M、扩散系数D、以及坐标位置x、时间t有关。一维问题中， C的量纲是[ML-3]，该量纲恰好是　　　的量纲。可设 令无量纲变量 于是： 由于： 将上述结果代入一维扩散方程中 可得： 即： 其特解由 瞬时平面源一维扩散方程解析解 式中：M为单位面积上扩散质的质量，g/m2； D为分子扩散系数，m2/s。 扩散质浓度分布 讨论: 当t?0,x?0，取极限可得：c=+∞，说明在初始时刻，污染源投放点的浓度为+∞。 当t?0,x≠0处，c=0，说明解满足初始条件。 扩散质浓度C(x,t)是以t为参变量的正态分布函数。 讨 论: 由图中可见，不同扩散时间t 的浓度分布具有不同的正态分布曲线，这是瞬时源的重要特点。 公式中的 x应理解为计算点P距排放点的距离；公式中的t 应理解为距某一指定时刻的时段长。 例题1： 足够长的渠道，断面积为S，水流静止，在距离坐标原点L1处瞬时投放扩散质质量M1（平面源），在距离坐标原点L2处瞬时投放扩散质质量M2（平面源）。 求c(x,t)=? 例1答案 由此可见，浓度公式中坐标x应理解为计算点P距排放点的距离。 例题2： 在例1中M2在排放M1 排放后T 时刻瞬时排放，其它条件相同，求c(x,t)=? 例2答案 由此可见，浓度公式中时间t应理解为距某一指定时刻的时段长。 小 结 这里讲的瞬时、面源、线源、点源的概念是指数学意义上的，实际情况难以达到。 源强的单位： 一维扩散：是指投放在源平面单位面积上的质量（g/m2） 习题 什么是瞬时平面源？ 什么是一维分子扩散？ P18 2-3 扩散方程为： 定解条件： 求解方法之二： 傅里叶变换 傅里叶变换 初始条件傅氏变换 定解问题变换为： 用分离变量法 随流扩散 随流输移和对流输移 随流扩散的质量通量 分子扩散 紊动扩散 随流输移和对流输移 随流输移是污染物在接纳水体中随该水体同步运动所产生的污染物质量迁移运动。 对流输移是由于水体内部的温度差或浓度差引起的密度差，在重力场或其他