06-随机变量的分布函数.ppt

范例: 1.已知随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx, 求常数A,B,X的密度函数. * 随机变量的分布函数 1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x), －∞＜x＜＋∞ 为随机变量X的分布函数. (1) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞, (2) F(x)是x的单调不减函数; (3) (4) F(x)有至多可列个间断点, 且在间断点处右连续, 即: F(x+0)=F(x) (5) P(aX≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a); P(Xa)=1-P(X≤a)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0) 2. 分布函数的性质: 一、分布函数 例1. 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即: X 0 1 P 0.3 0.7 , 求X的分布函数. 解: (1) 当x0时, = 0 (2)当0≤x1时, = P(X=0) = 0.3 (3)当1≤x时, = P(X=0)+P(X=1) = 1 3. 离散型随机变量X的分布函数 离散型随机变量X的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数, 分段区间是由X的取值点划分成的 左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值; (4)分布函数是右连续的； X的分布函数为: 分布函数图形如下: 0.3 x F(x) 1 1 0 例2. 设X的分布函数为 求X的概率分布及P(1X≤3)。 对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2 解: X的取值为 X 0 1 2 (5) P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0) P(1X≤3)=P(X≤3)-P(X≤1)=F(3)-F(1)=0.2 例3. 设10件产品中恰好有3件次品，现在接连进行不放回抽样, 每次抽一件，直至抽到正品为至。求 ①抽取次数X的概率分布，②X的分布函数, ③ P( X=3.5), P( X-2), P( 1X3), P(1X≤3) 解:(1) X 1 2 3 4 P 7/10 7/30 7/120 1/120 (2)F(x)= 7/10 7/10+7/30 7/10+7/30+7/120 x1 1≤x2 2≤x3 3≤x4 4≤x 0 1 (3) P(X=3.5)=0 P(X-2)=1-P(X≤-2) =1-F(-2)=1 或 P(X-2)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)+ P(X=4)=1 P(1X3)=P(X=2) =7/30 P(1X≤3)=F(3)-F(1) =7/30+7/120 4、连续型随机变量的分布函数 x f(x) -1 1 0 F(-1) F(1) 例4. 设随机变量X服从[-1,2]区间上的均匀分布，求X的分布函数。 解: X~ 如图: 分析: F(-2)= =0 F(1)= =2/3 F(3)= =1 -1 2 -2 1 3 F(1) x f(x) F(3) 所以, (1) x-1时, F(x)= =0 (2) -1≤x2时, F(x)= (3) 2≤x时, F(x)= =1 x F(x) -1 1 2 1 0 可见: (1) F(x)为从0到1单调递增的连续函数; (2) F(x)为分段函数, 区间划分与f(x)的区间划分相同, 区间 划分点可以属于该点左右的任何一个区间. X的分布函数为: 分布函数图形如下: (3)P{aX≤b}=P{aXb}=P{a≤Xb}=P{a≤X≤b}=F(b)-F(a). 连续型随机变量的分布函数的性质: (1)F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数; (2)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0; 由此可得 解: (1) x0时, F(x)= =0 (2) x≥0时, F(x)= 例5. 设随机变量X服从参数为 的指数分布，求X的分布函数。 例6. 设连续型随机变量X的分布函数为 求: (1) A; (2) P(0.3X0.7)