0-1背包问题之动态规划法-.ppt

动态规划;1. 概 述 ;1.1 多段图的最短路径问题;2;设G是一个有向加权图，则G从顶点i到顶点j之间的最短路径问题满足最优性原理。 证明：设i～ip～iq～j是一条最短路径，但其中子路径 ip～iq～j不是最优的， 假设最优的路径为ip～iq’～j， 则我们重新构造一条路径：i～ip～iq’～j 显然该路径长度小于i～ip～iq～j，与i～ip～iq～j 是顶点i到顶点j的最短路径相矛盾. 所以，原问题满足最优性原理。 ;对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s到终点t的最短路径记为d(s, t)，则从源点0到终点9的最短路径d(0, 9)由下式确定： d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)} 这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，而 d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)} d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)} d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)} 这一阶段的决策又依赖于d(4, 9)、d(5, 9)和d(6, 9)的计算结果：;d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)} d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)} d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)} 这一阶段的决策依赖于d(7, 9)和d(8, 9)的计算，而d(7, 9)和d(8, 9)可以直接获得（括号中给出了决策产生的状态转移）： d(7, 9)=c79＝7(7→9) d(8, 9)=c89＝3(8→9) 再向前推导，有： d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8);d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5) d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3) 得到最短路径为0→3→5→8→9，长度为16。 ; 在上例的多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。; 动态规划是运筹学的一个分支。与其说动态规划是一种算法，不如说是一种思维方法来得更贴切。因为动态规划没有固定的框架，即便是应用到同一道题上，也可以建立多种形式的求解算法。许多隐式图上的算法，例如求单源最短路径的Dijkstra算法、广度优先有哪些信誉好的足球投注网站算法，都渗透着动态规划的思想。 因此，动态规划不像深度或广度优先那样可以提供一套模式，需要的时候，取来就可以使用；它必须对具体问题进行具体分析处理，需要丰富的想象力去建立模型，需要创造性的思想去求解。; 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略问题。 或许，大家听到这个结论会很失望：其实，这个结论并没有削减动态规划的光辉，因为属于上面范围内的问题极多，还有许多看似不是这个范围中的问题都可以转化成这类问题。 上面所说的“满足一定条件”主要指下面两点： (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性。 这条特征说明什么呢?它说明动态规划适于解决当前决策和过去状态无关的问题。状态，出现在策略的任何一个位置，它的地位都是相同的，都可以实施同样的决策。这就是无后效性的内涵。 ;作为整个过程的最优策略具有如下性质：无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策