10概率论与数理统计.ppt

* 再见 * 99-9-28 ’ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * * * * * * * * * * * 于是 类似地 (这里y0)有 积分换序有 * 故有 得Z的概率密度为 特别两个随机变量独立时 * 例4. X,Y表示两只灯泡的寿命,且相互独立.已知它们的概率密度为,求Z=X/Y的概率密度. 解:由 x0,y0 知必需 z0. 得 即 例10-4. * (3.5.2 )、M=max(X,Y) ,N=min(X,Y)的分布 设(X,Y)的是两个独立的随机变量,它们的分布函数为 FX(x)和FY(y),求M=max(X,Y) ,N=min(X,Y)的分布。 推广到n个独立的随机变量,M=max(X1 ,…,Xn)的分布为 若为n个独立同分布的随机变量时, * 推广到n个独立的随机变量, 则N=min(X1 ,…,Xn)的分布为 进一步若为n个独立同分布的随机变量时, * 定义4.1.1 :设离散随机变量X的分布律为 P(X=xk) = pk k=1,2,…… 若级数 第四章 随机变量的数字特征 ** 4.1 数学期望 绝对收敛,则称此级数的和为离散随机变量X的平均取值或数学期望,记为E(X),即 (平均取值的引入) * 例4.1.1 设 X 服从0-1分布 P(X=1) = p P(X=0) =q=1-p 显然级数 绝对收敛, 0-1分布的离散随机变量X的数学期望或均值为 例10-5. * 例4.1.2 设 X 服从 分布 求X的数学期望或均值。 解： X的分布律为 , 所以 例10-6. * 定义4.1.2 :设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X),即 数学期望简称期望,又称为均值. * 例4.1.3 :设 求 解： 这是因为被积函数在 内是奇函数。 例10-7. * 定理4.1.1 : 设Y是随机变量X的函数,Y= g(X) (函数g(x)是连续函数). 1、设离散随机变量X的分布律为 P(X=xk) = pk k=1,2,…… * 随机变量函数的数学期望 若级数 绝对收敛,则有 被称为 随机变量函数Y= g(X)的数学期望 * 二、连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分 绝对收敛,则有 被称为 随机变量函数Y= g(X)的数学期望. * 按节气出售的某种节令商品，每售出一公斤可获利a元，过了节气处理剩余的这种商品，每售出1公斤净亏损b元。设某店在季度内这种商品的销售量X是一随机变量，X在区间(t1,t2)内服从均匀分布。问该店应进多少货才能使销售利润的数学期望最大？ 由于X的概率密度为 解：设t(单位:公斤)表示进货数,t1 ? t ? t2，进货t所获利润记为Y，则Y是随机变量， 例10-8. * 得驻点 因此， 由此可知，该店应进 公斤商品才可以使利润的数学期望最大。 * 设风速X是一个随机变量，在[0, a]上服从均匀分布，而飞机机翼上受到的压力Y与风速的平方成正比。即 ，求Y的数学期望或均值。 解： X的概率密度为, 所以 例10-9. * 定理4.1.2 : 设Z是随机变量X,Y的函数,Z=g(X,Y) (函数g(x,y)是连续函数).则Z也是一个随机变量,且 一、设离散随机变量X ,Y的分布律为 P{X=xk,Y=yj} = pkj k,j=1,2,…… 和级数 绝对收敛,则有 被称为 随机变量函数Z = g（X，Y）的数学期望 * 二、连续型随机变量X ,Y的概率密度为f(x,y), 若积分 绝对收敛,则有 被称为 随机变量函数Z = g（X，Y）的数学期望 * 设二维随机变量 的概率密度为 求: 解： 由X,Y的取值和 的对称性，得 例10-10. * 数学期望的性质:(以下均设所遇到的数学期望存在) 1