2011年《创新设计》3-5.ppt

1．降幂公式 sin αcos α＝ sin 2α；sin2α＝ 2．半角公式 1．若tan 则cos x值为(　　) 解析：cos x＝ 答案：B 2．已知450°α540°，则 的值是(　　) A．－sin B．cos C．sin D．－cos 解析：原式＝ ∵450°α540°，∴225° 270°.∴原式＝－sin . 答案：A 3．已知函数f(x)＝cos2 等于(　　) 解析：f(x)＝cos2 －sin2 ＝－sin 2x， ∴f ＝－sin 答案：B 4．若sin 则cos 2θ＝________. 解析：∵sin ＝cos θ＝ ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2× 答案：－ 对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【例1】 求证： ＝sin α＋cos α. 证明：证法一：左端＝ ＝sin α＋cos α＝右端则原恒等式成立． 证法二：设sin α＋cos α＝t，则左端＝ ＝t＝右端则原恒等式成立． 变式1. 求证：tan α＋tan β＋tan γ－ ＝ tan α·tan β·tan γ. 证明：左端＝ 通过三角恒等变换可解决三角函数的化简、求值和证明等问题，解决问题的出发点简单说就是统一角、统一函数、降底次数，同时要注意符号问题。特别应注意角与角之间的关系，用已知角表示未知角，用特殊角表示未知角等． 【例2】已知sin x＋cos x＝－ (135°x180°)． 求 的值． 解答：∵sin x＋cos x＝－ ∴1＋2sin xcos x＝ 即1＋sin 2x＝ ∴sin 2x＝－ . 又∵270°2x360°， ∴cos 2x＝ ∴原式＝ ＝ 【例3】已知函数f(x)＝sin x∈R(其中ω0)． (1)求函数f(x)的值域； (2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图象与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间． 解答：(1)f(x)＝ sin ωx＋ cos ωx＋ sin ωx－ cos ωx－(cos ωx＋1) ＝2 －1＝2sin 由－1≤sin ≤1，得－3≤2sin －1≤1. 可知函数f(x)的值域为[－3,1]． 【方法规律】 (本题满分12分)已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB·AC≤6.设AB和AC的夹角为θ. (1)求θ的取值范围； (2)求函数f(θ)＝2sin2 cos 2θ的最大值与最小值. 解答：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则由已知条件可得 bcsin θ＝3,0≤bccos θ≤6， 可得tan θ≥1， 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈ 【分析点评】 3.5 简单的三角恒等变换 3．Asin x＋Bcos x＝ sin(x＋φ)，sin φ＝ cos φ＝ 因此原恒等式成立. 变式2.求值： 解答：原式＝ ＝ ＝ 解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，进而可解决函数的周期、奇偶性、单调性和作函数图象等问题． (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π， 又由ω0，得 ＝π，即得ω＝2.于是有f(x)＝2sin －1， 再由2kπ－ (k∈Z)，解得kπ－ ≤x≤kπ＋ 所以y＝f(x)的单调增区间为 (k∈Z)． 变式3. 若函数 的最大值为2