2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第23讲正(余)弦定理.ppt

素材2 三 　 正弦定理和余弦定理的综合运用 素材3 备选例题 * * 一 正弦定理的应用 素材1 二 　余弦定理和面积公式的应用 　1.ABC中，BC＝3，A＝30°，B＝60°，则AC等于( ) A．3 B. C. D．2 【解析】由正弦定理得＝，AC＝＝＝3，故选A. 　2.在ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( ) A．6 B．2 C．3 D．4 【解析】AC＝ ＝ ＝6. 3.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，2b＝a＋c，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则ABC形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【解析】由题意，2sinB＝sinA＋sinC， sin2B＝sinA·sinC， 所以＝sinAsinC， 所以(sinA－sinC)2＝0，所以sinA＝sinC， 代入，得sinB＝sinA＝sinC，所以A＝B＝C. 4.在锐角ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系为( ) A．x≤y B．xy C．xy D．x≥y 【解析】 y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－cosC0，所以yx. 　5.在ABC中，A＝120°，b＝1，面积为，则＝　2　. 【解析】由S＝bcsinA，即＝×1×c×，所以c＝4. 所以a＝ ＝ ＝. 所以2R＝＝＝2. 所以＝＝2R＝2. 【例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，B＝30°，求A、C和c. 【解析】由＝，得＝， 所以sinA＝，所以A＝45°或135°. 当A＝45°时，C＝180°－30°－45°＝105°. 又由＝，得c＝＋1. 当A＝135°时，C＝180°－30°－135°＝15°. 同理c＝－1. 【点评】本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理求解，但要判定ABC是否有解，有几个解；也可用余弦定理求解． 已知方程x2－bcosAx＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a和b是ABC的两边，A和B是其对角，试判断ABC的形状． 【解析】设方程两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB. 由题意，bcosA＝acosB， 由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB， 所以sin(A－B)＝0， 又－πA－Bπ， 所以A－B＝0，即A＝B， 所以ABC为等腰三角形． 【点评】判断三角形形状主要思路是“化异为同”——化成纯粹的边与边、角与角的关系，通过运算求出边与角的大小，从而作出判断． 【例】满足条件AB＝2，AC＝BC的ABC的面积的最大值为____________．　【解析】设BC＝x，则AC＝x. 由余弦定理，得cosB＝＝， 所以SABC＝AB·BC·sinB ＝×2x× ＝ ＝. 由三边关系，得， 解得2－2x2＋2. 故当x＝2时，SABC取最大值为2. 【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后再利用三角形的面积公式和函数性质求解． 在ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，且＝－. (1)求角B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求ABC的面积． 【】(1)因为＝－， 所以＝－，所以a2＋c2－b2＋ca＝0， 所以cosB＝＝－，所以B＝120°. (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB， 得13＝a2＋c2－2ac·(－)， 所以13＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝4，所以ac＝3. 所以SABC＝ac·sinB＝×3×＝. 【例】已知圆O的半径是R，它的内接ABC中，有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，求角C和ABC面积SABC的最大值． 【解析】由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝， 则2R(－)＝(a－b)×， 即a2－c2＝(a－b)b， 所以cosC＝＝，于是C＝，A＋B＝. 所以S△ABC＝ab·sinC ＝×4R2sinAsinB× ＝R2sinAsin(－A) ＝R2[sin(2A－)＋1]． 因为0A，所以－2A－， 所以当2A－＝，即A＝时，SABC取最大值． (SABC)max＝R2. 【点评】本题利用两个定理联立求解，结合化归与转化思想，化异为同，最后水到渠成，本题在三角函数与解三角形交汇处命题，灵活利用角的联系，减少角的个数，借助三角函数的性质，求最值． 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2