2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：11.4导数的应用(第2课时).ppt

1. 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间［-2，2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解：(1)f ′(x)=-3x2+6x+9. 令f ′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)∪(3，+∞). (2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a， f(2)=-8+12+18+a=22+a， 所以f(2)＞f(-2). 因为在(-1，3)上，f ′(x)＞0， 所以f(x)在［-1，2］上单调递增. 又由于f(x)在［-2，-1］上单调递减， 因此，f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间 ［-2，2］上的最大值和最小值.于是有22+a=20，解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7. 即函数f(x)在区间［-2，2］上的最小值为-7. 点评：求函数在指定区间［a，b］上的最值，一般先求区间［a，b］上的极值点，然后比较极值点与区间端点函数值的大小. 函数f(x)=-3x4+6x2-1在［-2，2］上的最大值为( ) A. -1 B. 0 C. -25 D. 2 解：令f ′(x)=-12x3+12x=0，解得x=0或x=±1， 又f(±2)=-25，f(±1)=2，f(0)=-1， 所以［f(x)］max=2，故选D. 2. 已知函数f(x)=x4-4x3+mx2-1在区间 ［0，1］上是增函数，在区间［1，2］上是减函数，而g(x)=nx-1.若方程f(x)=g(x)恰好有四个不等的解，求n的取值范围. 解：易得f ′(x)=4x3-12x2+2mx， 由单调性得f ′(1)=0，所以m=4. 从而由f(x)=g(x)得x=0或n=x3-4x2+4x，(*) 可得(*)式有三个不为0的不等根. 设y1=n,y2=x3-4x2+4x,则两函数 y1、y2的图象有三个不同的交点,又 y′2=3x2-8x+4=(3x-2) (x-2)=0,所以x= 或x=2,易得x= 时,y2取极大值,为 ;x=2时, y2取极小值,为0. 所以函数 y1、y2的图象为： 点评： 方程解的问题可以转化为函数图象交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论，这既体现了函数与方程思想，又体现了数形结合思想. 求函数f(x)=x3-x2-x+2的图象与x轴的交点的个数. 解：f ′(x)=3x2-2x-1， 令f ′(x)=0，解得x=- 或x=1. 当x变化时, f ′(x), f(x)的变化情况如下表： 又f(- )= ，f(1)=1. 故可得f(x)的大致图象如下: 由此可知，f(x)的图象与x轴只有一个交点. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求： (1)若存款的利率为x, x∈(0，0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)的函数表达式； (2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？ 解：(1)由题意，存款量g(x)=kx2，银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=kx3. (