2013届高考理科数学第一轮总复习课件向量的字符运算.ppt

一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ= ___，当且仅当a、b反方向时，θ= ______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题. 2.如果a，b的夹角为 ____，则称a与b垂直，记作 _______. 3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则 __________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 ______________. 规定0·a= ___. 当a⊥b时，θ= ____，这时a·b= ____. 二、a·b的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影. 设θ是a与b的夹角，则 _________称作a在b方向上的投影. _______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 ______________时，它是正数；当 ___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零. 2.a·b的几何意义. a·b等 ___与b在a方向上的投影的乘积. 3.a·b的性质. 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有： (1)e·a=a·e=|a|cosθ; (2)a⊥b ________; (3)当a与b同向时，a·b= ___________； 当a与b反向时，a·b= ____________； 特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|= _____; (4)cosθ= _________; (5)|a·b|≤|a|·|b|. 1.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3， 则|5a-b|=____. 解： 所以|5a-b|=7. 2.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)·c=a·c+b·c C. m(a+b)=m a+mb D. (a·b)·c=a·(b·c) 解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R, b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 故选D. 3.在△ABC中，已知向量 与 满足 且 则△ABC为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：在△ABC中， (M在∠BAC的平分线上)， 由 知 所以 ⊥ ，则△ABC是等腰三角形； 因为 所以 则∠BAC=60°， 所以△ABC是等边三角形. 故选D. 1. 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角θ取何值时 的值最大？并求出这个最大值. 解法1：因为 ， 所以 因为 所以 故当cosθ=1,即θ=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). 所以 所以 因为 所以cx-by=a2cosθ， 所以 故当cosθ=1，即θ=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化. 已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角