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(2)当S8=2时,即答完8题后,回答正确的题数为5题,回答错 误的题数是3题,又已知Si≥0(i=1,2,3,4),若第一题和第二题 回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第一题和第三题回答 正确,第二题回答错误,则后5题可任意答对3题. 此时的概率为 【变式备选】如图,一个小球从M处投入, 通过管道自上而下落入A或B或C.已知小 球从每个叉口落入左右两个管道的可 能性是相等的.某商家按上述投球方 式进行促销活动,若投入的小球落 到A,B,C,则分别设为1,2,3等奖. (1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变 量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列 及期望E(ξ); (2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量η 为获得1等奖或2等奖的人次,求P(η=2). 【解析】(1)由题意得ξ的分布列为 则E(ξ)= ×50%+ ×70%+ ×90%= . P 90% 70% 50% ξ (2)由(1)可知,获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得η~B(3, ), 则P(η=2)= 与二项分布有关的期望与方差 【方法点睛】 与二项分布有关的期望与方差的求法 (1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项 分布,如果服从ξ~B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p) 求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另 一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)= aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b). 提醒:E(aξ+b)=aE(ξ)+b ,但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b,D(aξ+b)≠aD(ξ). 【例2】(1)某同学参加科普知识竞赛,需回答4个问题,每一 道题能否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是 ,若 回答错误的题数为ξ,则E(ξ)=_____,D(ξ)=_____. (2)罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再 放回,连续取4次,设ξ为取得红球的次数,则E(ξ)=_____. 【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布,故可直接套用公式 求解. 【规范解答】(1)∵回答正确的概率是 ,∴回答错误的概率 是1- = ,故ξ~B(4, ),∴E(ξ)=4× =1, D(ξ)=4× ×(1- )= . (2)因为是有放回的摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成 功)的概率为 ,连续摸4次(做4次试验),ξ为取得红球(成功) 的次数,则ξ~B(4, ),所以E(ξ)=4× = . 答案:(1)1 (2) 【互动探究】在本例(1)中,若竞赛规定:答对1题得10分, 否则扣1分,其他条件不变,求该同学得分η的期望与方差. 【解析】由题意知:η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ, 故由均值与方差的性质得 E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29, D(η)=D(40-11ξ)=112D(ξ)= 【反思·感悟】ξ是随机变量,则η=f(ξ)一般也是随机变量,在求η的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算. 【变式备选】甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主 招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将 成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过 程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、 乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通 过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为ξ,求随 机变量ξ的期望E(ξ). 【解析】(1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、 A2、A3;E表示事件“恰有一人通过笔试”, 则P(E)= =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38. (2)方法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的 概率均为p=0.3,所以ξ~B(3,0.3),故E(ξ)=np=3×0.3=0.9. 方法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事 件A,B,C,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3 所以P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343, P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441, P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189 P(ξ=3)=0.33=0.027. 于是,E(ξ)=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×
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