2013版高中全程复习方略配套课件：9.11离散型随机变量的均值与方差(人教A版·数学理)浙江专用.pptVIP

（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，回答错 误的题数是3题，又已知Si≥0(i=1,2,3,4)，若第一题和第二题 回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答 正确，第二题回答错误，则后5题可任意答对3题. 此时的概率为 【变式备选】如图，一个小球从M处投入， 通过管道自上而下落入A或B或C.已知小 球从每个叉口落入左右两个管道的可 能性是相等的.某商家按上述投球方 式进行促销活动，若投入的小球落 到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖. (1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变 量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列 及期望E(ξ)； (2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η 为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2). 【解析】(1)由题意得ξ的分布列为 则E(ξ)＝ ×50%＋ ×70%＋ ×90%＝ . P 90% 70% 50% ξ (2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得η～B(3， )， 则P(η＝2)＝ 与二项分布有关的期望与方差 【方法点睛】 与二项分布有关的期望与方差的求法 (1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项 分布，如果服从ξ～B(n,p)，则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p) 求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另 一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)= aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b). 提醒：E(aξ+b)=aE(ξ)+b ，但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b，D(aξ+b)≠aD(ξ). 【例2】（1）某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一 道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是 ，若 回答错误的题数为ξ，则E(ξ)=_____，D(ξ)=_____. （2）罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再 放回，连续取4次，设ξ为取得红球的次数，则E(ξ)=_____. 【解题指南】两题中的ξ都服从二项分布，故可直接套用公式 求解. 【规范解答】（1）∵回答正确的概率是 ，∴回答错误的概率 是1- = ，故ξ～B(4， )，∴E（ξ）=4× ＝1， D（ξ）=4× ×(1- )= . （2）因为是有放回的摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成 功)的概率为 ，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功) 的次数，则ξ～B(4， )，所以E（ξ）=4× ＝ . 答案：(1)1 (2) 【互动探究】在本例（1）中，若竞赛规定：答对1题得10分， 否则扣1分，其他条件不变，求该同学得分η的期望与方差. 【解析】由题意知：η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ， 故由均值与方差的性质得 E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29， D(η)=D(40-11ξ)=112D(ξ)= 【反思·感悟】ξ是随机变量,则η=f(ξ)一般也是随机变量,在求η的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算. 【变式备选】甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主 招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将 成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过 程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、 乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通 过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75. （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随 机变量ξ的期望E(ξ). 【解析】（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、 A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试”， 则P(E)= =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38. （2）方法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的 概率均为p=0.3，所以ξ～B(3,0.3)，故E(ξ)=np=3×0.3=0.9. 方法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事 件A,B,C，则P(A)=P(B)=P(C)=0.3 所以P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343, P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441, P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189 P(ξ=3)=0.33=0.027. 于是,E(ξ)=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×