2016年高三数学(理)创新设计资料包探究课二.ppt

【训练4】 (2014·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2. (1)求a； (2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点． (1)解　f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a. 曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2. 由题设知1－k＞0.当x≤0时， g′(x)＝3x2－6x＋1－k＞0，g(x)单调递增， g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4， 所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根． 当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)． h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根． 综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点. 热点突破 高考导航　函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在选择、填空、解答题中都有涉及，试题难度不大．运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置已经被概率解答 题占据，所以在历年高考题中很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现．另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用等，且难度往往较大． 热点一　利用导数研究函数的单调性问题 函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性．这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间；(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围． 【例1】 (12分)(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程． (2)讨论f(x)的单调性． 解　(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x， 所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e. 从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e. (5分) (2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax ＝(2x－ax2)e－ax. ①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0. 所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区 间(0，＋∞)上为增函数． (7分) 构建模板　求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f(x)的导数f′(x)． 第三步：根据f′(x)＝0的零点是否存在或零点的大小对参数 分类讨论． 第四步：求解(令f′(x)＞0或令f′(x)＜0)． 第五步：下结论． 探究提高　(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．若含参数，则含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解．分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题． 【训练1】 已知函数f(x)＝exln x－aex(a≠0)． (1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ey－1＝0垂直，求实数a的值； (2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 热点二　利用导数研究函数的极值、最值问题 用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一．对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导