基于MATLAB圆周率的几种近似计算方法及实现.pdf

章联生1李超2钟辉2周振超2 ． 1北京石油化工学院数理系北京102617；2北京石油化工学院经济管理学院信管系北京102617 摘要：先简单回顾了圆周率1r近似计算的历史。然后较详细地介绍推导了割圆术、级数法、迭代法、蒙特卡罗法、数值积分法等计 算圆周率1r的近似值的常见方法。并用MATLAB软件实现这些方法。 关键词：圆周率1r近似计算MATLAB软件 1．引言 等于订，因此1r必介于单位圃的内接正多边形的面积与外切正多边 圆周率是一个数学常数，定义为圆周长和直径之比，通常用 形的面积之间如图1，由此可以建立央挤方法得到1r的近似值。 希腊字母霄表示。圆周率1r是一个无理数，上世纪丹麦数学家康托 因单位圆的内接正on边形的面积鼠：昙咖堡，单位圆的外切 (Conter)证明了霄属于无理数中的“超越数”，其真值是一个具 有无穷多个没有规律的数字的小数。所以只能求得1r的近似值。 正on边形的面积墨=一t蛐兰． n 圆周率竹近似计算，是一个古老而又现代的问题。经过一代一代 的数学家和科技工作者的不懈努力，所获得的圆周率1r的近似值 故有昙sin堡冗开tan曼 (2．1．1) 越来越精确，1r小数点后的精确位数由当初的二、三位到最近的 2，576，980，370，000位，这个结果是2009年由日本筑波大学所创造， 位网的内接正六边形、外切正六边形，然后再作单位圆的内接十二 也是圆周率的必威体育精装版计算的世界纪录．它再次打破了由日本人金田康 边形、外切正十二边形，如此继续下去，于是有 正的队伍于2002年创造的1,241，100,000，000fcfL的世界纪录。 古人计算圆周率，一般是用割圆法，即用网的内接或外切正 3-2k (2．1．2) sin专或6．2‘tall南 多边形来逼近嘲。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计 算有了突毪猛进，借助于计算机甚至超级计算机，人们已经得到了 sin}≥或6．2ktan主≥去近似1r时，误差 因此，当曼?。2k 圆周率小数点后的数以千亿位精度。 尽管继续追求计算嘲周率的更多精确位数已经没有多大的实 不超过6．2‰寺一3．，2kSin南。 际意义，因为现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够 MATLAB软件的实现： 了。一方面。它可以激励后人象前人一样不断地攀登科学高峰；另 function Iinsefi，eireum，error]--fll(k) 一方面，用计算机来计算圆周率能使人们产生良性的竞争。促进计 imcri--vpa(342^k事ain(pi／(3‘2^k))，20) 算机技术、计算技术和数学的发展和进步。 MATLAB作为一种功能强大的数学软件，具有强大的数值计算 eireum--vpa(6+Tk4t∞(pi／(6‘21【))，20) 功能和符号运算能力，还有一定的|冬{形处理能力，尤其是它的数值 计算功能，更为突出。所以选用这个软件来实现圆周率竹近似计 算。 2．几种近似计算方法及实现 内接止n边形的面积和外切正n边形的面积及误差。 2．1．割【员I术 2．2．级数法 割圆术是古人计算圆周率竹近似值的方法， 先介绍利用函数的幂级数展开式求1r的近似值，回忆高等数 用圆的内接iF多边形的【IIi积以及圆的外切正多边