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一、内积的定义与性质 1、定义 设n维实向量 称实数 为向量α与β的内积,记作 注:内积是向量的一种运算,用矩阵形式表示,有 2、性质 (1)对称性: (2)线性性: (3)正定性: 当且仅当 时 1、长度的概念 二、向量的长度与夹角 令 为n维向量α 的长度(模或范数). 特别 长度为1的向量称为单位向量. (1)正定性: (2)齐次性: (3)三角不等式: 2、性质 (4)柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式: 当且仅当α与β的线性相关时,等号成立. 注 ①当 时, ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 称为把α单位化或规范化. 的过程 3、夹角 设α与β为n维空间的两个非零向量,α与β的夹 角的余弦为 因此α与β的夹角为 例 解 练习 三、正交向量组 1、正交 当 ,称α与β正交. 注 ① 若 ,则α与任何向量都正交. ② ③ 对于非零向量α与β, 2、正交组 若向量组中的向量两两正交,且均为非零向量,则 这个向量组称为正交向量组,简称正交组. 3、规范正交组 由单位向量组成的正交组称为规范正交组. 定理 4、性质 正交向量组必为线性无关组. 5、正交基 若正交向量组 则称 为向量空间V上的一个正交基. 为向量空间V上的一个基, 6、规范正交基 若规范正交组 则称 为向量空间V上的一个规范正交基. 为向量空间V上的一个基, 7、施密特(Schmidt)正交化法 设 是向量空间V的一个基,要求向量空 间V的一个规范正交基,就是要找到一组两两正交的单 位向量 ,使 与 等价, 此问题称为把 这组基规范正交化. 1)正交化 令 则 两两正交,且与 等价. 就得到V的一个规范正交向量组. V的一组规范正交基. 如果 上述方法称为施密特(Schmidt)正交化法. 2)规范化 令 是V的一组基,则 就是 注 上述方法中的两个向量组对任意的 与 都是等价的. 四、应用举例 例1 证明: 中,勾股定理 成立 的充要条件是 正交. 解 所以 成立的充要条件是 即 正交. 已知三维向量空间中, 例2 正交, 试求 是三维向量空间的一个正交基. 解 设 则 即 例3 已知向量 求 的一个标准正交基. 解 设非零向量 都于 正交, 即满足方程 或 其基础解系为
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