3-1节多维随机变量及其分布.ppt

第3.1节 多维随机变量及其分布 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结 备份题 第3.2节 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结 备份题 随机变量的独立性,条件分布 一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结 备份题 第3.4节　两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 例5书上 3.极值分布 它们的概率密度函数分别为 四、小结 若随机变量（X,Y)的概率密度为p(x,y)，则 (4) Z=X－Y的概率密度为 备份题 例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 于是 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结 一、问题的引入 　　为了解决类似的问题,下面 我们讨论两个随机变量函数的分布. 例1 概率 解 等价于 概率 结论 例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 可得 所以 例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 于是 解 1. Z=X+Y 的分布 由此可得概率密度函数为 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时, 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 得 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布. 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例6 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 同理可得 故有 当 X, Y 独立时, 由此可得分布密度为 解 由公式 例7 得所求密度函数 得 特别有 又 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 例2 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ x0 即： 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 y 0 解： 解 由于X 与Y 相互独立, 例3 因为X与Y 相互独立, 解 所以 于是 求随机变量 (X,Y) 的分布律. 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 问题 定义 例1 解 由上述分布律的表格可得 定义 答 请同学们思考 说明 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下 联合分布 条件分布函数与条件密度函数的关系 边缘分布 条件分布 联合分布 解 例3 又知边缘概率密度为 解 例4 1. 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 独立性 条件分布 解 例1 于是 (X,Y)关于X 的边缘概率密度为 解 求 Y=1 时 X 的条件分布. 例2 已知分布律 因此,在 Y=1 的条件下 X 的分布律为 解 不存在. 例3 正确解法为 于是 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 一、边缘分布函数 四、小结 为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. 因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为 例1 已知下列分布律求其边缘分布律. 注意 联合分布 边缘分布 解 同理可得 Y 的边缘分布函数 Y 的边缘概率密度. 解 例2 例4 解 由于 于是 则有 即 同理可得 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗? 不一定. 举一反例以示证明. 答 因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布. 联合分布 边缘分布 解 例1 解 例2 样本点 样本点 一、随机变量的相互独立性 二、离散型随机变量的条件分布 三、连续型随机变量的条件分布 四、小结 第2.23节 随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是： 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互