3-3协方差与相关系数.ppt

第三节 协方差与相关系数 主要内容（1.5学时） 一、协方差 (重点)； 二、相关系数（重点）； 三、不相关与独立的关系（重点）； 四、矩、中心矩简介。 一、协方差（重点） 1、引入背景 二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述？n维变量间的关系 举例： （1）不同地区气温间的关系； （2）人的身高、体重间的关系； （3）不同股票收益率间的关系； （4）公司经营业绩与资本结构间的关系。 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。 Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} ⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望 (3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X). 2、协方差的定义 说明： (2) Cov(X,Y)0，正相关；Cov(X,Y)0, 负相关。=0，不相关 (4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) (2) 对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X) (3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数 3、协方差的主要性质 ⑴ Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法) (5) D(X±Y)= D(X)+D(Y) ± 2Cov(X, Y) (6) 若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 不相关 证: (1) Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) (3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} = ab cov(X, Y) =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} (4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} (6) X与Y独立 ? E(XY) =E(X)E(Y) ? Cov(X,Y)= 0 . 二、相关系数（重点） 1、相关系数的定义 说明： (2) 相关系数?无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响。 (3) ? 与Cov(X,Y)同号。?0, 正相关；?0, 负相关； ?=0,不相关 2、相关系数的性质 结论： 0≤D(Y-tX)= t2D(X )-2t Cov(X,Y))+D(Y) 令 ，则上式为 D(Y- tX)= 证1: (1) 根据方差的性质，对于任意实数t 三、不相关与独立的关系（重点） 1、若X与Y独立，则X与Y不相关。 X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 2、X与Y不相关, X与Y不一定独立。 反例：见下页 3、(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立? X与Y不相关 即对正态分布来说，独立与不相关等价。 反例（P87-例2） 设(X, Y)的分布律为： 1 ? ? ? P{Y=j ? ? ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 -1 0 1 P{X=i} -1 0 1 X\Y 从而COV(X,Y)=0, 不相关 P{X=-1}P{Y=0}= 1/8 ? P{X=-1, Y=0} X,Y不独立。 四、矩、中心矩简介 设X和Y是随机变量 数学期望E(X)：一阶原点矩。 方差D(X)：二阶中心矩。 协方差Cov(X，Y)：二阶混合中心矩。